Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 28. 09. 2010 19:21

Ahoj,
mám opět problém a to problém s tímto příkladem. Nevěděl by někdo, jak s nim mam začít. Jak sestavit rovnici pro indukční krok pro n o 1 vyšší.
Díky moc za odpověď http://yfrog.com/6rma1p ( prý bych měl důkaz užít pomocí důkazu kombinačních čísel, že jsou všechna dělitelná 7, ale jak udělat tu rovnici, tod otázka.

Olin · 28. 09. 2010 20:50 — Editoval Olin (28. 09. 2010 22:29)

Předpokládáme, že $7 \, | \, (n^7 - n)$ , dále platí

$(n+1)^7 - (n+1) = $ n^7+ \boxed{7 n^6+21 n^5+35 n^4+35 n^3+21 n^2+7 n}+1 $ - (n+1)$ ,

zarámečkovaná část je zřejmě dělitelná sedmi, takže nám stačí dokázat, že to ostatní je také dělitelné sedmi. Asi bude vhodné v tuto chvíli aplikovat indukční předpoklad…

EDIT: Pokud bychom se chtěli vyhnout vyčíslování kombinačních čísel, je docela dobré si rozmyslet, že pro prvočíslo p a přirozené číslo k splňující $0<k<p$ platí $p \, | \, {p \choose k}$ (díky tomu, že v čitateli zlomku definujícím kombinační číslo bude p vždycky, ale ve jmenovateli nikdy).

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2010 19:21

Matematická indukce

#2 28. 09. 2010 20:50 — Editoval Olin (28. 09. 2010 22:29)

Re: Matematická indukce

Zápatí