Matematické Fórum

Marcopolo · 29. 09. 2010 09:05

Mám dvě funkce ke kterým mám nalézt inverzní.

Nemohl by mi někdo poradit postup řešení, inverzní funkce mi moc nejdou.

teolog · 29. 09. 2010 09:28

↑ Marcopolo:
Prohoďte x a y a vyjádřete y.
$y=3+e^{x-1}$
$x=3+e^{y-1}$
$x-3=e^{y-1}$
$\ln{(x-3)}=y-1$
$\ln{(x-3)}+1=y$

Druhý příklad zkuste sám.

Marian · 29. 09. 2010 09:45

↑ Marcopolo:↑ teolog:
Je zbytečné cokoliv prohazovat a vyjadřovat, pokud nedokážeme korektně, že zadaná funkce je invertibilní (zde pravděpodobně na přirozeném definičním oboru). Naštěstí je to zde patrné.

Cílem mé poznámky je, abychom měli na paměti tuto věc a nevyjadřovali cokoliv bez úvahy.

Rumburak · 29. 09. 2010 09:50

Nejprve obecná úvaha:
Hledáme-li inversní funkci k dané funkci $f$ , potom postupujeme tak, že sestavíme rovnici

(1) $f(x) = a$ ,

v níž $x$ je neznámá, $a$ parametr. K této rovnici pak hledáme její řešení v definičním oboru funkce $f$ .

Množina $H$ všech hodnot parametru $a$ , pro které rovnice (1) má řešení, je oborem hodnot funkce $f$ .
Jestliže pro každé $a\in H$ má rovnice (1) řešení jediné, pak to znamená, že existuje jediná funkce $g$ ,
pro niž platí:

1. je definována na množině $H$
2. pro každé $a\in H$ je $g(a)$ (jediné) řešení rovnice (1) .

Funkce $g$ pak je hledanou inversní funkcí k funkci $f$ .

Konkretně: Chci-li tedy nalézt i. f. k $f(x)\,:= \,3 \,+\, \text{e}^{\,x-1}$ , pak si vezmu rovnici $3 \,+\, \text{e}^{\,x-1}\,=\,a$
a hledám její řešení $x$ v závislosti na parametru $a$ .

Stačí takto ?