Matematické Fórum

bamban · 29. 09. 2010 11:40

Ahoj, můžete mi prosím vysvětlit, jak se řeší příklad tohoto typu:

Dokažte, že pro libovolné dvě binární relace R,S platí (S o R)^-1 = R^-1 o S^-1

děkuji

Olin · 29. 09. 2010 12:05

No, chceme dokázat, že pro libovolná x, y platí $(x, y) \in (S \circ R)^{-1}$ právě tehdy, když $(x, y) \in R^{-1} \circ S^{-1}$ .

Ukáži první implikaci - tj. $(x, y) \in (S \circ R)^{-1} \, \Rightarrow \, (x, y) \in R^{-1} \circ S^{-1}$ .

Předpokládejme, že máme takové x, y, splňující předpoklady - dle definice inversní relace to znamená, že $(y, x) \in S \circ R$ . To zase z definice skládání relací znamená, že existuje takové w, že $(y, w) \in S$ a zároveň $(w, x) \in R$ . To ovšem znamená také to, že $(w, y) \in S^{-1}$ a také $(x, w) \in R^{-1}$ . Z toho však (podle definice skládání) už plyne, že $(x, y) \in R^{-1} \circ S^{-1}$ , takže tato implikace je dokázána.

Druhou implikaci můžeš zkusit dokázat sám, je to velmi obdobné, prakticky se jen přečte "pozpátku" to, co jsem napsal já.

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2010 11:40

Skládání binárních relací

#2 29. 09. 2010 12:05

Re: Skládání binárních relací

Zápatí