Matematické Fórum

Označme

(1)                 f(x, y)  =   -1 / | 3 + x - 2y|

Jmenovatel na pravé straně v (1) je nezáporný a spojitý,  roven nule právě v bodech přímky  p  o rovnici x - 2y + 3 = 0,
na této přímce leží též bod [-1, 1].  V každém redukovaném okolí bodu [-1, 1] tedy existují body, v nichž funkce f není definována
(jsou to ty body, které zároveň leží na př. p).   Hledaná limita proto neexistuje.

Bude však existovat relativní limita vzhledem k množině  M = R - p   (R je mn. všech reálných čídel) . K její hodnotě dospějeme takto:

Upravme:  3 + x - 2y  =  (x - (-1))  + 2(1 - y) ,  potom  |3 + x - 2y| <= |x - (-1)|  + 2|y - 1| . 

Takže zvolíme-li  h > 0  a vezmeme-li

(2)               [x, y] v množině M tak, aby  max {|x - (-1)|, |y - 1|}  < h  ,

potom  0 < |3 + x - 2y| <= |x - (-1)|  + 2|y - 1|  < 3h   a tedy  -f(x,y)  =  1 / | 3 + x - 2y|  >  1/(3h) .

Zvolíme-li přirozené číslo n ,  potom můžeme číslo  h vzít tak malé,  aby  1/(3h) > n , takže pro všechna [x, y]  splňující (2)  bude

      -f(x,y)  =  1 / | 3 + x - 2y|  >  1/(3h)  > n  ,    neboli    f(x,y)  < -n  .

Odtud plyne, že  limita z f(x,y) pro  [x,y] blížící se k  [-1, 1]  relativně k množině M  je -oo .


Poznámka: Někteří autoři u funkcí více proměnných nerozlišují příliš mezi limitou a relativní limitu vzhledem k určité množině - netvrdím,
že je takový přístup správný, ale setkal jsem se s ním.  Podívej se na tu definici limity, podle které se máš / chceš řídit.