Matematické Fórum

Rodrigo99 · 30. 09. 2010 17:18

Ahoj potřeboval bych pomoct s tímto příkladem.
vůbec netuším jak mám začít.
dokažte že pro všechna přirozená čísla n platí
(cos(alfa)+i*sin(alfa))^n = cos(n*alfa)+i*sin(n*alfa)
je to důkaz moivreovi věty

Marian · 30. 09. 2010 17:58

Pro základ indukce ověř správnost tvrzení pro hodnotu $n=1$ - to je evidentně splněno.

V indukčním kroku budeš nyní předpokládat platnost tvrzení pro pevné $n\in\mathbb{N}$ , tj. předpokládáš již

$(\cos (\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin (\alpha))^n=\cos (n\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin (n\alpha).$

Na základě tohoto se pokusíš verifikovat správnost tvrzení pro hodnotu $n+1$ . To je ovšem snadné, neboť je

$(\cos (\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin (\alpha))^{n+1}=(\cos (\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin (\alpha))^n\cdot (\cos (\alpha)+\mathrm{i}\cdot\sin (\alpha)).$

První faktor vpravo přepíšeš podle induktivního předpokladu a konečně roznásobíš posledním výrazem v závorce. Úpravou podle součtových vzorců pro goniometrické funkce ukončíš důkaz tvrzení.

Rodrigo99 · 30. 09. 2010 17:59

děkuji teď už to zvládnu

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2010 17:18

matematická indukce

#2 30. 09. 2010 17:58

Re: matematická indukce

#3 30. 09. 2010 17:59

Re: matematická indukce

Zápatí