Na kterém celém intervalu z následujících možností platí nerovnost sinx > tgx? a) (0, pí/2), b) (–pí/4, pí/4),
c) (–pí/2, 0), d) (–3pí/4, –pí/4) e) žádná z předcházejících odpovědí není správná
s tímto si nějak nevím rady, děkuji za pomoc
Offline
Ukáži jednu z několika možností, jak při řešení nerovnice
(1) sinx > tgx
postupovat. Nejprve si uvědomíme pár maličkostí, které nám pomohou:
A. Funkce sin, cos mají nejmenší periodu 2pi, funkce tg dokonce jen pi.
B. Nerovnice (1) určite NENÍ SPLNĚNA v bodech x = k.pi , kde k je celé číslo, protože v těchto bodech je sinx = tgx = 0.
C. Nerovnice (1) určite NENÍ SPLNĚNA v bodech x = (2k +1).pi/2 , kde k je celé číslo, protože v těchto bodech tgx není definováno
(takže v těchto bodech nerovnice (1) ani nemá smysl).
D. Funkce sin, tg jsou liché , tj. v jejich definičních oborech jsou splněny vztahy sin(-x) = -sinx , tg(-x) = -tgx .
E. Další vztahy: sin(x+pi) = -sinx, tg(x+pi) = tgx (toto pro fci tg již bylo řečeno v A , ale hodí se mít obě tyto rovnosti vedle sebe),
analogicky sin(x-pi) = -sinx, tg(x-pi) = tgx .
Vlastní řešení nerovnice (1) rozdělme na několik případů podle polohy bodu x na číselné ose. Body x = k.pi , x = (2k +1).pi/2 , kde k je celé,
nás při tom nezajímají (viz B, C) :
1. Nechť 0 < x < pi/2 .
Zde nerovnost (1) NEPLATÍ, místo ní platí nerovnost obrácená k (1) , neboť zde 0 < sinx a 0 < cosx < 1 , takže
1 < 1/cosx , tuto nerovnost vynásobíme kladným číslem sinx a dostaneme
sinx . 1 < sinx . ( 1/cosx ) = sinx / cosx = tgx , tedy sinx < tgx , na obou stranách jsou kladná čísla.
2. Nechť -pi/2 < x < 0.
Potom 0 < -x < pi/2 a podle bodu 1 je sin(-x) < tg(-x) . To je dle D ekvivalentní s -sinx < -tgx , toto vynásobíme záporným číslem (-1)
a máme sinx > tgx , na obou stranách jsou záporná čísla.
3. Nechť pi/2 < x < pi . Označme y = x - pi .
Potom -pi/2 < y < 0 a tudíž dle bodu 2 je siny > tgy. Na obou stranách jsou záporná čísla, takže -siny > 0 > siny > tgy .
Dle E je siny = -sinx , tgy = tgx , čímž předchozí nerovnost -siny > tgy snadno upravíme na sinx > tgx .
4. Nechť pi < x < 3pi/2 . Označme y = x - pi .
Potom 0 < y < pi/2 a tudíž dle bodu 1 je siny < tgy. Na obou stranách jsou kladná čísla, takže -siny < 0 < siny < tgy .
Dle E je siny = -sinx , tgy = tgx , čímž předchozí nerovnost -siny < tgy snadno upravíme na sinx < tgx .
Nerovnost (1) tedy JE splněna v situacích 2, 3 , tj. na intervalech (-pi/2, 0), (pi/2, pi) ,
zatímco v situacích 1, 4 , tj. na intervalech (0, pi/2), (pi, 3pi/2) splněna NENÍ.
Tim jsme rozebrali všechny možné situace na intervalu (-pi/2, 3pi/2) . Jde o interval délky 2pi, takže prostřednictvím 2pi-periodicity funkcí sin, tg
lze získané výsledky rozšířit na celou číselnou osu.
Offline