Matematické Fórum

Rodrigo99 · 30. 09. 2010 21:25

ahoj tento vyraz mam dokazat pomoci mat. indukce
je to důkaz binomické věty
netuším jak s tím začít
(a+b)^n = suma{k=0}{n} (n nad k)* a^k*b^n-k
děkuji za pomoc

lukaszh · 30. 09. 2010 22:16

↑ Rodrigo99:

Princíp matematickej indukcie si môžeš prečítať tu. Indukciou sa dobre dokazuje väčšina tvrdení začínajúcich

$\Large\forall n\in\mathbb{N}\,:\;\cdots$

pričom pokračujeme indukciou podľa n. V tomto prípade

$\Large\forall n\in\mathbb{N}\;\forall a,b\in\mathbb{C}\,:\;(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot a^k\cdot b^{n-k}$

Indukciou dokazujeme podľa n. Prvý indukčný krok spočíva v dosadení prvej hodnoty n, v našom prípade n = 1. Overíme platnosť pre n = 1

$\Large a+b={1\choose 0}\cdot a^0\cdot b^{1-0}+{1\choose 1}\cdot a^1\cdot b^{1-1}=b+a$

Pre n = 1 tvrdenie teda zrejme platí. Teraz predpokladáme platnosť vety pre n = r (toto sa nazýva indukčný predpoklad). Ukazujeme platnosť pre n = r+1 so znalosťou, že pre n = r tvrdenie platí.

Teraz si pravú sumu rozpíšeme nasledovne

$\Large\sum_{k=0}^{r}{r\choose k}\cdot a^k\cdot b^{r-k+1}=b^{r+1}+\sum_{k=1}^{r}{r\choose k}\cdot a^k\cdot b^{r-k+1}$

Podobne ľavú sumu

$\Large\sum_{k=1}^{r+1}{r\choose k-1}\cdot a^{k}\cdot b^{r-k+1}=a^{r+1}+\sum_{k=1}^{r}{r\choose k-1}\cdot a^{k}\cdot b^{r-k+1}$

S touto úpravou pokračujeme

Tým je tvrdenie dokázané. Treba si však dobre rozmyslieť medzikroky.

Rodrigo99 · 30. 09. 2010 22:44

dekuju teprve se indukci učím a toto mi hodne pomohlo, ještě jednou děkuji

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2010 21:25

matematická indukce

#2 30. 09. 2010 22:16

Re: matematická indukce

#3 30. 09. 2010 22:44

Re: matematická indukce

Zápatí