Matematické Fórum

bamban · 30. 09. 2010 09:30

Zdravím, nemůžu přijít na řešení tohoto příkladu, mohl by mě někdo nakopnout? :-)

Př.: Dokažte, že reálná funkce f: R->R , která je dána předpisem f(x) = 2x je spojitá.

Díky

Rumburak

Dejme tomu, že chceme postupovat přímo z definice spojitosti.

Označme $c \in \mathbb R$ bod, v němž budeme spojitost funkce $f$ dokazovat, a nechť je libovolně dáno $\varepsilon > 0$ .
S důkazem spojitosti funkce $f$ v bodě $c$ budeme hotovi, když k bodu $c$ a číslu $\varepsilon$ najdeme číslo $\delta > 0$ takové,
aby z podmínky $x \in (c-\delta, \,c+\delta)$ vyplývalo $f(x) \in (f(c)-\varepsilon, \,f(c)+\varepsilon)$ (a je třeba ukázat, že tato implikace
vskutku platí).

Podstatnou roli při tom bude hrát předpis definující funkci $f$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Buldok · 02. 10. 2010 08:09

Zdravím, řeším podobný příklad. Chtěl bych poděkovat Rumburakovi za nakopnutí, ale asi bych potřeboval nakopnout ještě trochu víc. Není mi jasné, jakými úpravami z dané implikace dojít až k výsledku, ani co ten výsledek potom znamená. Byl by někdo tak ochotný a vysvětlil to podrobněji?

Díky moc.

Rumburak

↑ Buldok:
Tak tedy trochu podrobněji, pokud jde o tu technickou stránku důkazu:
Zopakuji, že je dáno $c \in \mathbb R$ , $\varepsilon > 0$ a chceme najít $\delta > 0$ takové, aby pro každé $x \in \mathbb R$ platila implikace

(1) $x \in (c-\delta, \,c+\delta)\,\Rightarrow \,f(x) \in (f(c)-\varepsilon, \,f(c)+\varepsilon)$

Tuto implikaci nejprve přepíšeme do tvaru

(2) $c-\delta \, <\,x\,<\,c+\delta\,\Rightarrow\, f(c)-\varepsilon \, <\,f(x)\,<\,f(c)+\varepsilon$

a když sem dosadíme f(x) =2x, f(c) =2c, máme

(3) $c-\delta \, <\,x\,<\,c+\delta\,\Rightarrow\, 2c-\varepsilon \, <\,2x\,<\,2c+\varepsilon$ .

Připomeneme si původní otázku: jak volit $\delta > 0$ , aby platila implikace (3) ? Zde je to velmi snadné, nerovnost
$2c-\varepsilon \, <\,2x\,<\,2c+\varepsilon$ ze závěru implikace (3) vydělíme dvěma a dostaneme její ekvivalentní tvar $c-\frac{1}{2}\varepsilon \, <\,x\,<\,c+\frac{1}{2}\varepsilon$ .

Odtud je snadno vidět, že vezmeme-li třebas $\delta = \frac{1}{2}\varepsilon$ nebo i $0 < \delta < \frac{1}{2}\varepsilon$ , pak implikace (3) a tedy i (1) platit budou:
Jestliže $c-\delta \, <\,x\,<\,c+\delta$ , potom $c-\frac{1}{2}\varepsilon\,\le\,c-\delta \, <\,x\,<\,c+\delta\,\le\,c+\frac{1}{2}\varepsilon$ , takže $2c-\varepsilon\,<\,2x\,<\,2c+\varepsilon$ .

Závěrem:
Ukázali jsme, že k bodu $c \in \mathbb R$ a k libovolně danému číslu $\varepsilon > 0$ lze nalézt číslo $\delta > 0$ takové, že pro libovolné $x \in \mathbb R$
je splněna implikace (1). Tím je naplněna podmínka definující spojitost funkce f v bodě c.
Bod c bylo možno vzít v definičním oboru funkce f zcela libobovolně, takže funkce f je spojitá v každém bodě svého
definičního oboru, tedy krátce: f je spojitá.