Matematické Fórum

metjuf · 03. 10. 2010 11:03

Zdravím, nevím si rady s touto funkcí:

Y = ( 3-sqr(x) ) / ( 1-2*sqr(x) )

Mám k této funkci vytvořit funkci inverzní a nevím jak jí upravit. Výsledek znám, ale zajímá mě jak postupovat v takových příkladech. Pokud funkci celou umocním, tak se odmocniny nezbavím, pokud čitatele přesunu do leva a vynásobím Y tak si taky moc nepomůžu nebo ne? Jsem ostuda, ale fakt nevim. Děkuji za rady :)

jelena · 03. 10. 2010 11:20

metjuf napsal(a):
pokud čitatele přesunu do leva a vynásobím Y

ano, to je v pořádku - pokud odmocnina "činí problém", tak pro první úpravy použij substituci $\sqrt x=a$
$y=\frac{ 3-a}{1-2a}$
$y(1-2a)=3-a$

Teď je úkolem vyjádřit a.

Samozřejmě, tvorbě inverzni funkce má předcházet debata o def. oboru zadané funkce a na kterém oboru je inverzní. Zatím to beru tak, že jde jen o úpravy.

Zdravím.

byk7 · 03. 10. 2010 11:35

↑ metjuf:
$f:\,y=\frac{3-\sqrt{x}}{1-2\sqrt{x}}$
$t:=\sqrt{x}$
$y=\frac{3-t}{1-2t} \nl y(1-2t)=3-t \nl y-2ty=3-t \nl y-3=-t+2ty \nl y-3=t(2y-1) \nl t=\frac{y-3}{2y-1} \nl \sqrt{x}=\frac{y-3}{2y-1} \nl x=$\frac{y-3}{2y-1}$^2$
$f^{-1}:\,y=$\frac{x-3}{2x-1}$^2$

metjuf · 03. 10. 2010 11:39

↑ jelena:

Děkuji, A jsem si vyjádřil. Vyšlo mi A = ( 3 - y ) / ( -2y + 1 ) po vrácení substituce: X = ( 3 - y )^2 / ( 1 - 2y )^2 . Oproti výsledku mám však opačné znaménka. Definiční obor je ( X > nebo = O ) kvůli odmocnině a jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule. Jak tedy určím definiční obor inverzní funkce? Snažil jsem se najít nějaký novod ale nic "pochopitelného" jsem nenašel :/

jelena · 03. 10. 2010 11:54

↑ byk7: děkuji za velmi přehledné vyjádření :-)

↑ metjuf: pokud v čitateli a v jmenovateli výsledku vytkneš (-1), tak je to stejné, jako kolega ↑ Ondra:. Kolega ještě provedl "formální přejmenování promenných".

Pro zadanou funkci x>=0 - ano, také $\sqrt x \neq \frac12$ - souhlasí. Je třeba určit, na kterém intervalu funkce f(x) je prostá - na tomto intervalu hledáme inverzní funkci. Zadaná funkce f(x) je prostá na celém def. oboru (alespoň mi tak vyšlo).

Def. obor. inverzní funkce - vlív má jmenovatel $1-2x \neq 0$ (po přejmenování).

Pro kontrolu - obor hodnot zadané funkce f(x) je stejný jako definiční obor inverzní funkce.

Matematické Fórum

#1 03. 10. 2010 11:03

Vyjádření x z funkce

#2 03. 10. 2010 11:20

Re: Vyjádření x z funkce

metjuf napsal(a):

#3 03. 10. 2010 11:35

Re: Vyjádření x z funkce

#4 03. 10. 2010 11:39

Re: Vyjádření x z funkce

#5 03. 10. 2010 11:54

Re: Vyjádření x z funkce

Zápatí