Matematické Fórum

Johny · 03. 10. 2010 19:19

Nazdar, nikde nemohu najít postup na řešení tohoto typu úloh. Předem díky za případnou nápovědu :)

Ve svazku přímek se nachází a : x - 2y − 5 =
0, b : 3x − 2y + 1 = 0. Nalezněte přímku, která

- prochází bodem B=(3,-1)
- je rovnoběžná s přímkou y-1=0

Cheop · 04. 10. 2010 15:38

↑ Johny:
Bude to přímka $y+1=0$

Rumburak

Nechť jsou dány různoběžky p, q o rovnicích $ax + by + c = 0$ , $Ax + By + C = 0$ . Potom

I. Libovolná přímka ze svazku přímek určeného různoběžkami p, q se dá vyjádřit rovnící ve tvaru

(1) $\lambda (ax + by + c) \,+\, \mu (Ax + By + C) \,=\, 0$ ,

kde aspoň jedna z konstant $\lambda$ , $\mu$ je nenulová.

II. Určuje-li rovnice tvaru (1) přímku, pak tato přímka patří do uvažovaného svazku.

Johny · 04. 10. 2010 20:10

Jasne a mohl by si mi rici jak to aplikovat na zadaní, ja jsem si tím akorát overil, ze rovnice v zadani jsou nezavisle, jedna neni nasobkem druhe. Coz mi k nicemu nepomuze.

stenly · 04. 10. 2010 20:24

↑ Johny:Přímka prochází bodem B(3,-1) a je rovnoběžná s přímkou r:y-1=0 jejíž směrový vektor s(1,0).Potom parametrické rovnice přímky p: x=3+t
y=-1+0t a z toho y+1=0 je daná hledaná přímka.

Johny · 04. 10. 2010 20:40

Omlovam se, spatne jsem to napsal. To je za a) prochazejici bodem B ; b) přímka rovnobezna k y-1=0

Rumburak

↑ Johny:
Rovnici hledané přímky m si napíšeme ve tvaru $\lambda (x - 2y-5) \,+\, \mu ( 3x - 2y + 1) \,=\, 0$ a upravíme na

m: $(\lambda+3\mu)x \,-\,2(\lambda + \mu)y \,+\, (\mu-5\lambda) \,=\, 0$ .

a) Má-li přímka m procházet bodem B=[3,-1] , musí být splněno

$(\lambda+3\mu)\cdot 3 \,-\,2(\lambda + \mu)\cdot (-1) \,+\, (\mu-5\lambda) \,=\, 0$ ,
po úpravě $0\lambda + 12\mu = 0$ , neboli $\mu = 0$ , $\lambda$ libovolné nenulové, tedy např. $\lambda =1$ .
Rovnice hledané přímky m pak bude $x - 2y-5 \,=\, 0$ .

b) Má-li přímka m být rovnoběžná s přímkou o rovnici y-1=0 , tj. o rovnici 0x + 1y - 1 = 0 , musí být lineárně závislé
normálové vektory těchto přímek, tj. vektory $$\lambda+3\mu,\,-2(\lambda + \mu) $$ , $(0,\, 1)$ . Tato podmínka vede k soustavě

$\lambda+3\mu = 0$ ,
$-2(\lambda + \mu) = 1$ .