Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 05. 10. 2010 16:13
hodnost matice
Zdravím,
moc bych prosila, jestli by jste mi někdo mohl zkontrolovat, zda jsem se dopočítala správně:
Zadání:
Pro která a,b ležící v R je hodnost matice A rovna číslům 0,1,2,3,4?
a a a a
b b b b
A = 0 0 b b
0 0 0 a
Podle mě má být:
h(A) = 0 pro a,b = 0
h(A) = 1 pro a = b a zároveň a,b se nerovná 0
h(A) = 2 pro b = 0 a zároveň a je jakékoliv R číslo
pro a = 0 a zároveň b je jakékoliv R číslo
h(A) = 3 pro a, b leží v R - {0} a zároveň a se nerovná b
h(A) = 4 pro žádné R číslo
Koukala jsem i na ostatní podobné příklady zde na fóru a řešila podle rad, ale nejsem si jistá..
Děkuji moc za každou připomínku :)
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) blanvan)
#2 05. 10. 2010 19:58
Re: hodnost matice
↑ blanvan:
Ahoj. Já bych řekl že je to špatně. Mohla bys sem poslat postup, ať ti můžu najít chybu? Hlavně mně v něm bude zajímat kde se vydělil ten případ a=b a proč. Nejlíp když to naskenuješ/vyfotíš a vložíš sem jako obrázek, pokud neumíš TeX.
Ale schválně si zkus jaká vyjde hodnost, když dosadíš a=b=1. Nebude to 1, jak tvrdíš.
Jinak v tom tvém zápisu je i formální nedoraz - pokud bude a=b=0, tak by podle toho tvého měla matice mít zároveň hodnost 0 a 2. Je mi ale jasné, že je to jen opomenutí.
Offline
#3 07. 10. 2010 08:42
Re: hodnost matice
Já jsem popravdě spíš zkoušela různé varianty, co by tam mohlo být, aby se hodnost rovnala 0,1,2,3,4. Vim, že takhle bych to dělat neměla, ale jakmile tam nejsou čísla, nějak se v tom ztrácim. Zkusila jsem to tedy znova a došla jsem k tomuto:
a a a a
b b b b
0 0 b b
0 0 0 a
1. ř. vynásobím b a 2. ř. vynásobím a odečtu, abych dostala schodovitý tvar:
ab ab ab ab
0 0 0 0
0 0 b b
0 0 0 a
a ještě si matici upravím:
a a a a
0 0 b b
0 0 0 a
Pokud a = b = 0, pak h(A) = 0
Pokud a = 0 a b = R, pak h(A) = 1
Pokud bych dosadila za a = R a b = 0, h(A) = 2
Pokud a,b = R, pak h(A) = 3
H(A) = 4 v tomto případě není pro žádné R číslo.
Dopočítala jsem se správně nebo to mám opět špatně? :)
Jen nechápu, jak může být h(A) = 2, když bude a,b = 0?
Offline
#4 07. 10. 2010 16:52 — Editoval Tychi (07. 10. 2010 17:59)
Re: hodnost matice
Máš to správně, jen bys neměla psát, že např. b=R, ale 
a jestli se koukám, dobře, tak spíš 
Jen nechápu, jak může být h(A) = 2, když bude a,b = 0?
to právě vyplývá z tvého zápisu, R obsahuje i nulu, takže opravdu musíš psát R-{0}
LukasM má samozřejmě pravdu a tak beru první tři slova zpět.
Vesmír má čas.
Offline
#5 07. 10. 2010 17:33 — Editoval LukasM (07. 10. 2010 17:34)
Re: hodnost matice
↑ blanvan:
A podle mně to správně není. Každý přece vidí, že když 
a 
, tak má matice (ta původní, o které se bavíme) hodnost 2, a ne jedna.
Proč to tak je? Protože v postupu je neošetřená neekvivalentní úprava. Jak jsme se dostali od matice
a a a a
b b b b
0 0 b b
0 0 0 a
k matici
a a a a
0 0 b b
0 0 0 a
0 0 0 0
?
To jsme udělali tak, že jsme druhý řádek vynásobili a-čkem, a odečetli b-násobek prvního řádku. To je v pořádku, pouze pokud 
. Ten opačný případ je potřeba vyřešit zvlášť, jinak dopadneme špatně - násobení řádku nulou není ekvivalentní úprava (ale odečítat 0-násobek klidně můžu - pak vlastně nedělám nic, a to se smí. proto b klidně může být nula).
Ta tvoje meziúprava také předpokládá, že - ale to se ve výsledku neprojeví, protože jsi to tím b-čkem vzápětí zase vydělila.
A samozřejmě, jak píše Tychi, bacha na to abys při zápisu vyloučila tu nulu.
Offline
#6 08. 10. 2010 09:41
Re: hodnost matice
Takže jestli jsem to pochopila správně, tak pokud si upravím matici, tak pak již nemohu dosazovat za a = 0. Za a mohu dosadit 0 jen v té původní matici a tam by ta hodnost byla 2. Jinak mám teda špatně h(A) = 1 a jinak dobře?
Když ale koukám na tu matici, původní i upravenou, tak mi teď vychází, že h(A) = 1 v tomto případě není pro žádné R číslo.
Už jsem ale aspoň pochopila, jak se k tomu dopracovat jinym způsobem než metodou pokusů a omylů :)
Offline
#7 11. 10. 2010 17:12
Re: hodnost matice
Ahoj.
Tak jsem tu po víkendu zpátky, a jak vidím, nikdo se tě neujal, tak odpovím aspoň teď já.
Ano, upravená matice má stejnou hodnost jako původní pouze pro , jinak nemůžeme nic říct. Případ a=0 musíme proto vyřídit zvlášť, jak už jsem psal.
"Za a mohu dosadit 0 jen v té původní matici a tam by ta hodnost byla 2" - ano, ale je to pravda pouze v případě, že . Možná ti to ode mně přijde jako buzerace, ale je důležité si těchhle rozdílů všímat. Pokud i b=0, hodnost už není 2.
Matice opravdu nebude mít hodnost 1 pro žádnou volbu parametrů.
Celkově tedy:
1. a=b=0 ... h(A)=0
2. a=0, ... h(A)=2
3. , b=0 ... h(A)=2
4. , ... h(A)=3
Jinak kdyžtak označuj svoje vyřešená témata jako vyřešená, ať je tu v tom trochu pořádek. Příslušné tlačítko bys měla vidět vždy v pravém dolním rohu svého prvního příspěvku.
Offline