Matematické Fórum

vinczenzo · 07. 10. 2010 16:02

Pomocí zobrazení f(x)=x/(|x|+1) dokažte, že (-1;1) ~ R .

check_drummer · 07. 10. 2010 16:07

Je zobrazení pro x z daného intervalu prosté? Jaká je množina hodnot tohoto zobrazení? Co to znamená ve vztahu k relaci "~"?

vinczenzo · 07. 10. 2010 16:13

Toto je bohužel celé zadání.

Rumburak · 07. 10. 2010 16:21

↑ vinczenzo:
To zadání není potřeba nijak doplňovat, kolega ↑ check_drummer: Tě chtěl svými otázkami nasměrovat k vydolování
potřebných znalostí ze své paměti (či sešitu, knihy).

vinczenzo · 07. 10. 2010 16:56

aha:) rozumím správně, že (-1,1)~R je to samé jako (-1,1)->R ?

vinczenzo · 07. 10. 2010 17:12

zjistil jsme že je fce prostá ale množina hodnot mi prostě nějak nic neříká...

jarrro · 07. 10. 2010 19:55

↑ vinczenzo:kolegovia sa snažia jemne naznačiť,že to zobrazenie je bijekcia reálnych čísel na ten interval,lebo platí
$x_1\neq x_2\Rightarrow \frac{x_1}{\left|x_1\right|+1}\neq\frac{x_2}{\left|x_2\right|+1}$ a
$\frac{x}{\left|x\right|+1}=a\nlx=\left(\left|x\right|+1\right)a\nlx\leq0\Rightarrow x=ax+a\Rightarrow x=\frac{a}{1-a}\nlx<0\Rightarrow x=-ax+a\Rightarrow x=\frac{a}{1+a}$ teda dostávame
$\left.{a\in\left(-1;0\right)\Rightarrow x=\frac{a}{1+a}\nla\in\left(0;1\right\rangle\Rightarrow x=\frac{a}{1-a}\right\}\Rightarrow x=\frac{a}{1-\left|a\right|}$

Rumburak

↑ vinczenzo:
Dá se postupovat i takto:

Funkce f daná předpisem f(x)=x/(|x|+1) je v R zřejmě spojitá a lichá ( tj. identicky splňuje rovnici f(-x) = -f(x) ), dále pak

pro $x \ge 0$ je $f(x)=\frac{x}{|x|+1} = \frac{x}{x+1} = \frac{x+1 - 1}{x+1} = 1-\frac{1}{x+1} = 1-\frac{1}{1+x}$ ,
pro $x \le 0$ je $f(x)=-f(-x) = -$1-\frac{1}{1-x}$ =\frac{1}{1-x} -1$ ,
z těchto výsledků je patrné, že spojitá funkce f je navíc rostoucí, tudíž zobrazuje otevřený interval $(-\infty, \,+\infty)$ na otevřený interval (a, b),
kde

$a = \,\lim_{\small{x \to -\infty}} f(x) = -1$ , $b = \,\lim_{\small{x \to +\infty}} f(x) = +1$ .

Takže f je rostoucí a tedy prostá funkce zobrazující R na (-1,+1).

POZNÁMKY:
Jsou-li A,B množiny, potom výrok A~B znamená, že existuje prostá funkce g, jejímž definičním oborem je množina A a oborem hodnot množina B.
Funkce f inversní k funkci g pak zajistí, že také platí B~A. Výroky A~B, B~A jsou tedy ekvivalentní.

V případech, kdy je obtížné některou z funkcí g, f sestrojit, se k důkazu výroku A~B (pokud ovšem skutečně platí) může využít věta
Cantorova-Bernsteinova (na webu ji najdeš).