Matematické Fórum

metamedik

Prošel jsem si vztahy logaritmů na wiki, ale nenašel jsem nic, od čeho bych se mohl odrazit. Věřím, že je to lehké, bohužel jsem matematik samouk.

EDIT: Prosím :-)

Pavel Brožek

↑ metamedik:

E by šlo vyjádři pomocí Lambertovy funkce, ale není to středoškolská matika. A není to jednoduché vyjádření.

metamedik

Měl jsem obavy, že se jedná o něco naprosto triviálního, tak jsem to raději zaobalil do "jednoduchého vyjádření" :)

BrozekP: Nemohl bys naznačit? Něco jsem se pokusil vytvořit, ale jsem si téměř stoprocentně jist, že jsem to nepochopil (resp. jsem se kouknul jenom na řešené příklady, protože se mně to nechtělo pročítat (-:)

EDIT: Pro určení z W mám vycházet z osy y na obrázku http://en.wikipedia.org/wiki/File:Lambert-w.svg (tj. od 6/10 do 1 bez se dvěma variantami výsledku?)

Pavel Brožek · 13. 10. 2010 15:39

Upozorňuji, že v tomto příspěvku se nějakými předpoklady o konstantách vůbec nezabývám, jen se snažím dostat k výsledku. Také vůbec netvrdím, že je to nejjednodušší cesta.

Chceme tedy vyjádřit E z rovnice

$E\cdot\ln$B+\frac CE$=\frac{\ln A}{F}$ .

Označme si $G\equiv\frac{\ln A}{F}$ , ať si to zjednodušíme.

$E\cdot\ln$B+\frac CE$=G$

Teď provedu spoustu umělých úprav, které člověk normálně těžko vymyslí. Já jsem je zjistil tak, že jsem vzal výsledek (ten mi dal program Mathematica) a upravoval jsem ho do tvaru rovnosti, kterou řešíme.

$E\cdot\ln$B+\frac CE$=G\nl \ln$B+\frac CE$=\frac{G}{E}\nl \ln$B+\frac CE$=-\frac{G}{C}$-\frac CE$\nl \ln$B+\frac CE$=-\frac{G}{C}$B-\frac CE-B$\nl B+\frac CE=\textrm{e}^{-\frac{G}{C}$B-\frac CE-B$}\nl B+\frac CE=\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}+\frac{G}{C}$\frac CE+B$}\nl B+\frac CE=\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}}\cdot\textrm{e}^{\frac{G}{C}$B+\frac CE$}\nl \textrm{e}^{-\frac{G}{C}$B+\frac CE$}\cdot$B+\frac CE$=\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}}\nl \textrm{e}^{-\frac{G}{C}$B+\frac CE$}\cdot$-\frac{G}{C}\(B+\frac CE$\)=-\frac{G}{C}\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}}\nl$

Pro jednoduchost předpokládejme, že pravá strana je kladná. Pak je Lambertova funkce definována jako $x\cdot\textrm{e}^x=y \Leftrightarrow x=W(y)$ . Dostáváme

$-\frac{G}{C}$B+\frac CE$=W(-\frac{G}{C}\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}})\nl B+\frac CE=-\frac CG W(-\frac{G}{C}\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}})\nl \frac CE=-B-\frac CG W(-\frac{G}{C}\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}})\nl E=\frac{C}{-B-\frac CG W(-\frac{G}{C}\textrm{e}^{-\frac{GB}{C}})}\nl$

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2010 10:52 — Editoval metamedik (08. 10. 2010 11:35)

jednoduché vyjádření

#2 08. 10. 2010 16:52 — Editoval BrozekP (08. 10. 2010 16:56)

Re: jednoduché vyjádření

#3 10. 10. 2010 20:07 — Editoval metamedik (10. 10. 2010 20:10)

Re: jednoduché vyjádření

#4 13. 10. 2010 15:39

Re: jednoduché vyjádření

Zápatí