Matematické Fórum

Gustav; · 08. 10. 2010 18:09

Ahoj,
mám třeba příklad

$(3 - \sqrt2)^{5!}$

Jak zjistím poslední cifru celé části, resp. jestli je sudá nebo lichá.

Nežádám o radu jak to celé udělat. Spíš jen nějakou nakopávací radu.

Předem díky
Gustav

Olin · 08. 10. 2010 18:31

Zdravím, vzhledem k tomu, že jde v podstatě o aktuální sedmou úlohu v PraSeti, navrhuji odložit odpověď až na úterý.

b.r.o.z1 · 08. 10. 2010 19:39

↑ Olin:
Zdravim:-) Jsi sikula, ze jsi si to vsiml ;-) Obdivuji ;-)

↑ Gustav;:
Pravidla jsou ti cizí? Tu se pomáhá těm, kteří něčemu nerozumí, nikoliv řeší soutěže. Soutěž je právě o tom, že se porovnávají schopnosti soutěžících, ne soutěžících, za které to vyřeší někdo jiný.
PRAVIDLA!!! 6. bod

Olin · 08. 10. 2010 19:46 — Editoval Olin (08. 10. 2010 19:48)

↑ b.r.o.z1:
Také zdravím, osobně bych nevolil tak ostré formulace, přece jen ctím presumpci neviny. Dokáži si dost dobře představit, že to nemá s prasetem nic společného a jde o náhodu.

Jinak vzhledem k tomu, že jsem byl jedním z lidí, kteří do této série úlohy vybírali, tak jsem to samozřejmě poznal :-) Jde o moc hezkou úlohu, která si právoplatně zaslouží být v sérii Triky.

Gustav; · 08. 10. 2010 22:24

Je fakt, že jsem právě PraSe řešil. Proto jsem ale nespal přesné zadání a ani nechtěl úplný postup. Soudím však, že jakákoliv pomoc by asi byla velkým spoilerem, takže se tímto omouvám.

Jsem vážně zvědavý jak to je. Už asi na nic nepřijdu.

Gustav; · 08. 10. 2010 22:32

mimochodem, nenní tohle blbě? Vždyť to by potom platilo, že odmocnina ze dvou se rovná 1. Na levé straně asi taky má být celá čast n, nebo ne???

$http://upload.wikimedia.org/math/a/4/b/a4b10f127da730b8653bd38bbff533bb.png$

Olin · 09. 10. 2010 10:54

Domnívám se, že uvedený vzorec platí pouze pro $n \in \mathbb{Z},\, m \in \mathbb{N}$ (vzhledem k tomu, že na pravé straně je součet celých čísel, což je vždy celé číslo).

Kondr · 13. 10. 2010 00:44

↑ Olin: Prozradíš myšlenku řešení? Pro PraSečí úlohu trik znám, zde mi jasný není (teda možná by šlo ten, kterým jsem řešil PraSečí úlohu, nějak rozšířit, ale nebylo by to moc pěkné).

Olin · 14. 10. 2010 22:17 — Editoval Olin (14. 10. 2010 22:17)

↑ Kondr:
Prozradím řešení původní úlohy - pro zadanou úlohu mě nic moc nenapadá.

Podstatou je uvědomit si, že čísla $(\sqrt{2}+1)^{2010!}$ a $(\sqrt{2}-1)^{2010!}$ mají mnoho společného - totiž nejen že je jejich součin celé číslo (konkrétně jednička), ale dokonce i jejich součet je celé číslo - podle binomické věty totiž je

$(\sqrt{2}+1)^N = (\sqrt{2})^N + {N \choose 1} (\sqrt{2})^{N-1} + {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} + \dots + {N \choose N-1} \sqrt{2} + 1\nl (\sqrt{2}-1)^N = (\sqrt{2})^N - {N \choose 1} (\sqrt{2})^{N-1} + {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} - \dots - {N \choose N-1} \sqrt{2} + 1$

(označil jsem $N = 2010!$ ) a pokud tyto součty sečteme, odečtou se všechny členy, ve kterých je $\sqrt{2}$ v liché mocnině, a ty se sudou mocninou (tedy celé) se naopak sečtou:

$(\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N = 2 \cdot (\sqrt{2})^N + 0 + 2 \cdot {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} + \dots + 0 + 2 \cdot 1$

takže jde dokonce o sudé číslo. Avšak $\sqrt{2} - 1 < 1$ , takže $(\sqrt{2}-1)^N < 1$ . Odtud dostáváme, že $(\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N - 1 \, < \, (\sqrt{2}+1)^N \, < \, (\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N$ . Zbývá si rozmyslet, že to nám již paritu $\lfloor (\sqrt{2}+1)^N \rfloor$ jednoznačně určuje.

Kondr · 15. 10. 2010 15:24

Jo, uvažoval jsem v podstatě stejně: $a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^{n}$ je posloupnost daná vztahy $a_0=2$ , $a_1=2$ a $a_{n+2}=2a_{n-1}+a_{n}$ , tudíž je tvořena celými sudými čísly, posloupnost $b_n=(1+\sqrt{2})^n$ je pro sudá $n$ o nějaký drobný zlomek menší, po zaokrouhlení dolů tedy dává liché číslo.