Matematické Fórum

Nich · 08. 10. 2010 21:48

Dostal jsem za úkol tento příklad a vůbec si s ním nevím rady...

$X = \{(a, b) | a, b \in Z, b \neq 0\}$ Definujeme $(a, b)R(c, d)$ právě když $ad = bc$ . Dokažte, že R je ekvivalence na množině X. Jakou známou množinu tvoří třídy ekvivalence?

Pavel Brožek · 08. 10. 2010 22:28

Víš jak se dokazuje ekvivalence? Kdy je relace ekvivalencí?

Nich · 08. 10. 2010 22:52

No měla by být reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ale nevím jak to obecně dokázat.

Pavel Brožek · 08. 10. 2010 23:10

Tak začněme u symetrie. Dokážeš přepsat to, co se říká v definici symetrické relace, pro tuto konkrétní relaci?

Nich · 09. 10. 2010 10:25

$(a,b) R \Leftrightarrow (d,c)R \wedge b \neq 0 \wedge ab = cd$

jarrro · 09. 10. 2010 10:54

↑ Nich:nechápem. skôr
$\left(a;b\right)R\left(c;d\right)\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow cb=da\Leftrightarrow \left(c;d\right)R\left(a;b\right)$

Pavel Brožek · 09. 10. 2010 11:00

↑ Nich:

Tomu nerozumím. Co znamená zápis $(a,b)R$ ?

Definice: Nechť R je binární relace na množině X. Pak ji nazveme symetrickou, jestliže platí $\forall x,y\in X:\qquad xRy\Rightarrow yRx$ .

My máme binární relaci R na množině X. Takže přepíšu zbytek definice:

Relace R je symetrická, jestliže platí $\forall (a,b),(c,d)\in X:\qquad (a,b)R(c,d)\Rightarrow (c,d)R(a,b)$ . A to jarrro právě dokázal.

Nich · 09. 10. 2010 12:54

Dobře tomu rozumím takže define reflexivita je:

Relace R je reflexivní jestliže $(x,x) \in R \forall x \in X$

A na množině X to bude vypadat:

$\forall (a,b),(c,d)\in X: (a,b)R(c,d) \Leftrightarrow a=b \Leftrightarrow c=d$

Pavel Brožek · 09. 10. 2010 13:01

↑ Nich:

Ne. Kde máš v definici reflexivity něco o tom, že z X bereš dva prvky?

Nich · 09. 10. 2010 13:37

No já myslel, že z množiny X musí být všechny prvky použity ve správné relaci, aby byla reflexivní.

Takže by to mohlo být takhle?

$\forall (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\in X: (a,a)R(b,b) \Leftrightarrow (c,c)R(d,d) \Leftrightarrow ad=cb$

Pavel Brožek

Vůbec.

$\forall x \in X:\quad (x,x) \in R$

Tohle říká, že pro každý prvek x z množiny $X$ je $(x,x)\in R$ (což se často píše jako $xRx$ ). V našem případě jsou prvky množiny X dvojice čísel. Takže pro každou dvojici čísel $(a,b)\in X$ má platit $((a,b),(a,b))\in R$ nebo jinak zapsáno $(a,b)R(a,b)$ . Ty teď musíš ověřit, jestli to opravdu platí. Naše relace je definována tak, že $(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow ad=bc$ , tudíž $((a,b),(a,b))$ určitě v relaci je (protože platí $ab=ba$ ).

Nich · 09. 10. 2010 16:19

Hm relace asi nebudou můj "cup of tea" :-)

já teda zkusím ještě tu tranzitivní... takže definice je:

$[ (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R ] \rightarrow (x,z) \in R$

Pro množinu X:

$[(a,b)R(c,d) \wedge (b,z)R(d,w)] \rightarrow (a,z)R(c,w) \Leftrightarrow aw = zc$

Pavel Brožek · 09. 10. 2010 16:25

↑ Nich:

Ne. Co je v našem případě x, co y a co z?

jarrro · 09. 10. 2010 16:28

↑ Nich:nie v našom prípade máme
predpoklad v tvare $(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f)$ teda
$ad=bc\wedge cf=de\Rightarrow acdf=bcde\Rightarrow af=be\Rightarrow \left(a;b\right)R\left(e;f\right)$

Nich · 10. 10. 2010 00:03

Nechápu jak si tuhle rovnost $ad = bc \wedge cf = de$ můžu přepsat na $acdf = bcde$

Pavel Brožek · 10. 10. 2010 00:25

↑ Nich:

Budu postupně upravovat.

$acdf = adcf=bccf=bcde$

V první rovnosti jsem pouze změnil pořadí. V druhé jsem použil $ad = bc$ , v třetí $cf=de$ .

Pavel Brožek · 10. 10. 2010 00:39

Ale řekl bych, že to není úplně správný postup, sama o sobě neplatí implikace $acdf=bcde\Rightarrow af=be$ (c by mohlo být nulové). Lepší by bylo asi z rovnosti $ad=bc$ vyjádřit c (b je různé od nuly, takže jím dělit můžeme) $c=\frac{ad}{b}$ a dosadit do $cf=de$ : $\frac{ad}b\cdot f=de$ , po krácení d (je různé od nuly) a násobením b dostáváme $af=be$ , což jsme chtěli.

jarrro · 10. 10. 2010 10:41

↑ BrozekP:áno to je pravda nenapadlo ma to s tou možnou nulou som to vzbrkle celé vynásobil a vykrátil

Nich · 10. 10. 2010 11:21 — Editoval Nich (18. 10. 2010 20:06)

Aha tak už tomu rozumím, mod dík za pomoc... jen to teďka celé shrnu...

$(a,b)R(c,d)$ je ekvivalencí na množině X je-li současně symetrická, reflexivní a tranzitivní

Důkaz symetrie:
$xRy => yRx ; (x,y) \in X$
$(a,b)R(c,d) \Leftrightarrow ad=bc \Leftrightarrow cb = da \Leftrightarrow (c,d)R(a,b)$

Důkaz reflexivity
$\forall x \in X: xRx$
$(a,b)R(a,b) \Leftrightarrow ab=ba$

Důkaz tranzitivity
$[xRy \wedge yRz] => xRz$
$[(a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f)] \Leftrightarrow ad = bc \wedge cf = de \Leftrightarrow$ Vyjádříme c z první rovnosti a dosadíme do druhé $(c = \frac{ad}b\cdot f)$
$\Leftrightarrow \frac{ad}b\cdot f=de \Leftrightarrow af = be \Leftrightarrow (a,b)R(e,f)$

EDIT:
Jakou známou množinu tvoří třídy ekvivalence? Nevíte někdo prosím?