Matematické Fórum

Gladix · 11. 10. 2010 19:11

Dobrý den
Určete početně jestli je daná funkce lychá nebo sudá.

Mohl by mi někdo napsat nějaký podrobnější návod jak vypočítat tento typ příkladů. Stačí jen ťuknout
Velmi děkuji

Spybot · 11. 10. 2010 19:28 — Editoval Spybot (11. 10. 2010 19:29)

licha

Staci vyjst z definicie. Odkaz

Pavel Brožek

Nejdříve se podívej sem a pak bych doporučil vyjít z definice liché funkce.

Edit:
↑ Spybot:
Neopisoval jsem :-)

Edit2:

A oba nás tak zaujala „lychá funkce“, že jsme oba ve svých odkazech úplně pominuli fakt, že se dotaz vztahuje i na sudost. :-)

Hanis · 11. 10. 2010 19:44 — Editoval Hanis (11. 10. 2010 19:46)

↑ Gladix:
Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy x, čili platí f(x)=f(-x)
Graf lichá funkce je středově souměrný podle počátku 0xy, čili f(-x)=-f(x)

Hypotéza: funkce je sudá:
$1/(x-3)^3 -4 = 1/(-x-3)^3 -4$
$1/(x^3-9x^2+27x-27)= (-1)/(x^3 + 9x^2 + 27x + 27)$
$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = -x^3 + 9x^2 - 27x + 27$
$x^3 + 27x = -x^3 - 27x$
$x^3 + 27x = -(x^3 + 27x)$
$1=-1$
Neplatí -> fce není sudá

Hypotéza: funkce je lichá:
$-1/(x-3)^3 -4=1/(-x-3)^3 -4$
$-1/(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)+4=(-1)/(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - 4$
$4=-4$
Neplatí -> fce není lichá

Závěr : fce není ani sudá, ani lichá.
Ještě obrázek grafu:http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4%2B1%2F%28x-3%29^3+

Bohužel ještě neumím dělat v TeXu zlomky, tak snad časem...

Olin · 11. 10. 2010 19:53

↑ Hanis:

Tady stačí říct, že zatímco $-3 \in D(f)$ , tak $3 \notin D(f)$ , přičemž sudost i lichost vyžaduje $x \in D(f) \Rightarrow -x \in D(f)$ (symetrie definičního oboru).

Pavel Brožek · 11. 10. 2010 19:53

↑ Hanis:

Zlomky se dělají pomocí \frac{čitatel}{jmenovatel}.

Jen bych doplnil, že obvykle je z předpisu funkce jasné (chce to jistou zkušenost), co od funkce můžeme čekat. Pokud se snažíme dokázat, že funkce není sudá resp. lichá, je mnohem jednodušší vybrat si nějaké číslo (např. $x=1$ ) a dosadit ho do předpisu funkce. Pak dosadíme číslo opačné ( $x=-1$ ) a výsledky porovnáme.

Gladix · 11. 10. 2010 20:21

Takze jestli tomu rozumím.
y=2x^2+1

2x^2+1 = -2x^2-1
1 = -1

výsledek sudá funkce?

Gladix · 11. 10. 2010 20:40

↑ BrozekP: Díky konečně někdo kdo to dokáže vysvětlit normálním způsobem

Pavel Brožek

↑ Gladix:

Obávám se, že jsi mě špatně pochopil. f(x)=2x^2+1 je sice sudá funkce, ale nic jako

2x^2+1 = -2x^2-1
1 = -1

(ať už to má znamenat cokoliv) v postupu nejspíš nebude. Správně bychom měli postupovat např. takto:

$f(-x)=2(-x)^2+1=2x^2+1=f(x)$ .

Nevím, jestli si uvědomuješ, že sudost a lichost jsou různé pojmy, funkce nemusí být nutně sudá nebo lichá. Funkce může být třeba zároveň sudá i lichá nebo nemusí být ani sudá ani lichá.

Že funkce není sudá resp. lichá se dá dokázat několika způsoby, z nich jsou hlavní asi tyto dva:

1) Funkce nemá symetrický definiční obor.
2) Najdeme číslo $x$ , pro které není splněna rovnost $f(-x)=f(x)$ resp. $f(-x)=-f(x)$ pro sudou resp. lichou funkci.

Když chceme dokázat, že je funkce sudá resp. lichá, musí mít symetrický definiční obor a musíme ukázat, že $f(-x)=f(x)$ resp. $f(-x)=-f(x)$ platí pro všechna x z definičního oboru.