Matematické Fórum

hckr · 12. 10. 2010 21:39

dobrý den,

Jsem na vysoké škole chvilku a nutně potřebuji pomoct s matematikou, doslova se v některých věcech plácám a s něčím si fakt nevím rady

potřeboval bych prosím vysvětlit důkaz matematickou indukcí pokud možno tak trošku polopatě ...

můj problém je hlavně v tomto příkladu $1*2+2*3+3*4 ... + n(n+1) = \frac13n\(n+1)(n+2)$

vím, že první krok se zjišťuje platnost pro $n = 1$ to samozřejmě zvládám, ale druhý krok je pro mě problém

jestli prosím někdo můžete vysvětlit jak postupovat při počítání pro $n = n + 1$

teolog · 12. 10. 2010 21:57

↑ hckr:
Místo n dosaďte n+1. Novou rovnost upravte a dokažte, že platí.

hckr · 12. 10. 2010 22:23 — Editoval hckr (12. 10. 2010 22:24)

no popravdě tohle vím, ale není mi jasné jak to mám dokázat, spíš bych chtěl vidt jak se to dopočítá přímo bylo by to možné rozepsat prosím ? ... z učebnic to vůbec nechápu ty úpravy jak se k tomu dojde

Oxyd · 12. 10. 2010 22:35 — Editoval Oxyd (12. 10. 2010 22:36)

↑ hckr:

Nepočítá se pro $n = n + 1$ -- to je nesmysl, n nikdy nebude rovné n + 1. Z platnosti výroku pro libovolné $n$ se dokáže jeho platnost pro $n + 1$ . Nevím jestli je to překlep v zápisu nebo náznak nepochopení indukčního kroku.

Každopádně, pro n + 1 máme takovouhle levou stranu:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n (n + 1) + (n + 1)(n + 2)$

Chceme dojít k tomu, že se to rovná $\frac{1}{3} (n + 1)(n + 2)(n + 3)$

Indukční předpoklad je $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2)$ . Pomocí indukčního předpokladu můžeme sečíst začátek levé strany pro n + 1. Tu pak trošku promasírujeme běžnými úpravami výrazů:

$\underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + n (n + 1)}_{\text{secteme podle predpokladu}} + \underbrace{(n + 1)(n + 2)}_{\text{ocasek}} = \underbrace{\frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2)}_{\text{secteno}} + \underbrace{(n + 1)(n + 2)}_{\text{ocasek}} = \nl = \underbrace{(n + 1)(n + 2)}_{\text{vytknuto}} \left( \frac{n}{3} + 1 \right) = (n + 1)(n + 2) \frac{n + 3}{3} = \frac{1}{3} (n + 1)(n + 2)(n + 3)$

Což je to, co jsme chtěli.

hckr · 12. 10. 2010 23:17

↑ Oxyd:

no tak ted je mi to o trochu vic jasnejsi ... popsal jste to vyborne, ale ja porad tapu nad tim "secteno" + "ocasek" a najednou se rovna vytknuto a uz jsou tam jen 3 vyrazy, koukam ze problem bude spis v te uprave vyrazu protoze tenhle krok prave vubec netusim. Vubec nevim jak muzu ze "secteno" + "ocasek" dostat (n+1)(n+2)(n/3 + 1) .... nezlobte se na me, ale muzete mi jeste objesnit tenhle krok upravy?

dekuju mockrat za vas cas

Olin · 12. 10. 2010 23:25

Když se to přepíše takto

$(n+1)(n+2) \cdot \frac n3 + (n+1)(n+2) \cdot 1$

je to jasnější?

hckr · 12. 10. 2010 23:56

↑ Olin:

:( mám asi fatální chybu někde v totálních základech úprav výrazů, ale to je teda fakt díra, když se seknu na takový kravině ...

pořád si s tím hraju všemožně, ale jdu na to nejspíš úplně špatně, zkrátka mi pořád nevychází jak upravit (n+1)*(n+2)*n/3 + (n+1)(n+2) na tu konečnou rovnost ... prosím můžete mě pošťouchnout ještě víc ? i když bych asi spíš potřeboval ránu něčím ...

Spybot · 13. 10. 2010 00:16

Nic moc, poviem Ti. Vazne a surne si zopakuj vytykanie vyrazov.

Oznacme $(n+1)(n+2)$ ako $x$ .

$\frac 13 nx+x=x(\frac n3 +1)$

Lepsie?

hckr · 14. 10. 2010 09:05

↑ Spybot:
jo aha ... no musim to hodne vyladit ... ale to bylo to co mi chybelo, diky moc uz je mi to jasne :)

dekuju vsem kdo venovali cas aby mi poradili :)

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2010 21:39

důkaz matematickou indukcí

#2 12. 10. 2010 21:57

Re: důkaz matematickou indukcí

#3 12. 10. 2010 22:23 — Editoval hckr (12. 10. 2010 22:24)

Re: důkaz matematickou indukcí

#4 12. 10. 2010 22:35 — Editoval Oxyd (12. 10. 2010 22:36)

Re: důkaz matematickou indukcí

#5 12. 10. 2010 23:17

Re: důkaz matematickou indukcí

#6 12. 10. 2010 23:25

Re: důkaz matematickou indukcí

#7 12. 10. 2010 23:56

Re: důkaz matematickou indukcí

#8 13. 10. 2010 00:16

Re: důkaz matematickou indukcí

#9 14. 10. 2010 09:05

Re: důkaz matematickou indukcí

Zápatí