Matematické Fórum

Lenulka91 · 13. 10. 2010 02:03

Vzorečková slátanina, kterou ne a ne rozluštit:

Uploaded with ImageShack.us

medvidek

↑ Lenulka91:
V obou případech dělíš rovnici členem, který může být nulový. Místo toho přesuň všechny členy na jednu stranu a vytýkáním před závorku uprav na tvar
$(\sin x -1)(\cos x - \sin x)=0$ .
Řešení bude sjednocením řešení rovnic
$\sin(x) =1$ ,
$\cos(x) = \sin(x)$ .
Řešení první rovnice je jasné,
$\sin (x) = 1 \ \Leftrightarrow \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k \in \mathbb Z$
ve druhé rovnici lze ukázat, že
$\cos(x) \ne 0$ , proto ji můžeme přepsat na $tg(x) = 1$ .
Toto řešení by mohlo být patrné např. z nákresu úhlu $\frac{\pi}{4}$ na jednotkové kružnici
$tg(x) = 1 \ \Leftrightarrow \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k \in \mathbb Z$

Poznámka:
Nesprávná řešení tebou označená jako $x_2$ a $x_4$ vznikla v důsledku neekvivalentní úpravy rovnice (umocnění na druhou).

Lenulka91 · 13. 10. 2010 22:04

Jak dokážu, že $\cos(x) \ne 0$ ? a přepsání na tgx=1 ? Děkuji

gadgetka · 13. 10. 2010 22:58

$\cos(x) = \sin(x)$

Obě strany rovnice vydělíš $\cos x$ , za předpokladu, že je různý od nuly (protože bude ve jmenovateli), a dostaneš: $1=\tan(x)$

medvidek · 14. 10. 2010 00:45

↑ gadgetka:
Děkuji a zdravím.
↑ Lenulka91:
Zbývá dokázat, že $\cos(x) \ne 0$ .
Předpokládejme, že $\cos(x) = \sin(x)$ a zároveň $\cos(x) = 0$ .
Z toho plyne, že také $\sin(x) = 0$ .
Z toho dále plyne, že $x=0+k\pi, \ k \in \mathbb Z$
To je ale ve sporu s předpokladem $\cos(x) = 0$ , tudíž $\cos(x) \ne 0$ .

Rumburak

↑ Lenulka91: Z platnosti rovnice

(1) $\cos\,x \,=\, \sin\,x$

lze dokázat $\cos\,x \,\ne\, 0$ i takto: obecně platí

(2) $\sin^2 x \,+\, \cos^2 x\, =\, 1$ ,

sem dosadíme za $\sin\,x$ z (1) a postupně dostáváme
$\cos^2 x \,+\, \cos^2 x\, = \,1$ ,
$2\,\cos^2 x \,=\, 1$ ,
$\cos^2 x \,=\, \frac {1}{2}$ ,
$|\cos\,x| \,=\, \sqrt{\frac {1}{2}} \,\ne\, 0$
a tedy i $\cos\,x \,\ne\, 0$ .

Nebo ještě efektivněji sporem: předpokládáme-li vedle (1) zároveň též $\cos\,x \,=\, 0$ , potom prostřednictvím (1) je $\sin\,x \,=\, 0$
a dosazením $\sin\,x \,=\, 0$ , $\cos\,x \,=\, 0$ do obecné goniometrické identity (2) dostáváme nepravdivý výrok $0\,=\, 1$ , tedy spor.