Matematické Fórum

Mr.Pinker

$n!<=({\frac{n+1}{2}})^n$
napadlo mě to řešit přes průměry
proto mi stačí jen rovnici odmocnit

$\sqrt[n]{n!}<={\frac{n+1}{2}}$
$n+2\sqrt[n]{n!}+1>=0$
a ted nevím jak dál nevím zdali se to zapsat jako

$(n+1)^n>=0$

což pro n Množiny přirozených čísel platí vždy

Olin · 13. 10. 2010 23:31 — Editoval Olin (13. 10. 2010 23:31)

Co přesně myslíš tím, že se to "dá zapsat"? Upozorňuji, že číslo $\sqrt[n]{n!}$ není prakticky nikdy celé, tudíž s výrazem $(n+1)^n$ nemůže mít mnoho společného.

Důkaz této nerovnosti se provádí tak, že se v součinu definujícím faktoriál spárují k-tý největší a nejmenší člen (tedy $1 \cdot n,\, 2 \cdot (n-1),\, 3 \cdot (n-2) \ldots$ ) a tyto součiny se odhadnou pomocí AG nerovnosti.

Mr.Pinker · 13. 10. 2010 23:36

tomu sem se chtěl právě vyhnout jelikož bych pak musel udělat i důkaz AG nerovnosti

Olin · 13. 10. 2010 23:40

Domnívám se, že AG nerovnost pro dvě čísla je poměrně triviální tvrzení. Bohužel asi nemohu sloužit jinými nápady, samozřejmě by šlo dokázat jinými metodami lepší odhady pro faktoriál, ovšem tyto metody jsou značně obtížnější než AG nerovnost.

Pavel · 14. 10. 2010 08:20

↑ Olin:

Problém nastane, pokud toto párování budeš provádět ve faktoriálu lichého čísla, poněvadž v něm nezpáruješ člen prostřední, např. $5!=(1\cdot 5)\cdot (2\cdot 4)\cdot 3$ . V tomto případě je lepší dokazovat nerovnost $(n!)^2<=({\frac{n+1}{2}})^{2n}$ , kde je počet členů v rozvoji faktoriálu vždy sudý.

FailED · 14. 10. 2010 14:15

↑ Mr.Pinker:
A co indukce?
$n!(n+1)\leq${\frac{n+1}{2}}$^{n}\cdot (n+1)\leq$\frac{n+2}{2}$^{n+1}\Leftrightarrow2\leq$\frac{n+2}{n+1}$^{n+1}=$1+\frac{1}{n+1}$^{n+1}=\nl =\sum_{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}$\frac{1}{n+1}$^i=1+(n+1)\cdot\frac{1}{n+1}+\sum_{i=2}^{n+1}{n+1 \choose i}$\frac{1}{n+1}$^i$

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2010 23:05 — Editoval Mr.Pinker (13. 10. 2010 23:05)

důkaz

#2 13. 10. 2010 23:31 — Editoval Olin (13. 10. 2010 23:31)

Re: důkaz

#3 13. 10. 2010 23:36

Re: důkaz

#4 13. 10. 2010 23:40

Re: důkaz

#5 14. 10. 2010 08:20

Re: důkaz

#6 14. 10. 2010 14:15

Re: důkaz

Zápatí