Matematické Fórum

predsaja · 14. 10. 2010 21:37

Ahoj vsetci.

Mam zadany takyto priklad: Vypocitajte limitu postupnosti zadanej rekurentne a1 = 3, a(n+1) = sqr (27 * an - 50), n patri N
Limitu vypocitat viem, ale v priklade treba aj dokazat, ze tato postupnost limitu ma. Ako sa to dokazuje?

Dakujem za kazdu pomoc.

Kondr · 14. 10. 2010 21:59 — Editoval Kondr (14. 10. 2010 22:28)

Položíme $a_n=25-b_n$ a dokážeme, že je $b$ zdola omezená (nulou) a klesající.

Máme
$25-b_{n+1}=\sqrt{625-27b_n}$
$625-50b_{n+1}+b_{n+1}^2=625-27b_n$
$50b_{n+1}-b_{n+1}^2=27b_n$
$50b_{n}-b_{n}^2=27b_{n-1}$
$(b_{n+1}-b_n)(50-b_n-b_{n+1})=27(b_n-b_{n-1})$
Druhá závorka má kladnou hodnotu, proto mají přírustky posloupnosti stále stejné znaménko: záporné.

predsaja · 14. 10. 2010 22:03

Mozes mi, prosim ta, vysvetlit preco an=2+bn?

Pavel · 14. 10. 2010 22:12

↑ Kondr:

Obávám se, že při dané počáteční podmínce bude posloupnost rostoucí, shora omezená a limita bude rovna 25.

predsaja · 14. 10. 2010 22:15

Pavel: dakujem, toto viem, viem aj ako vyratat, ze limita bude 25. Neviem len ten zaciatok - dokazat, ze postupnost limitu ma :(

Kondr · 14. 10. 2010 22:29

↑ Pavel: Díky, to mi po přečtení ↑ predsaja: taky došlo, snad jsem to nyní upravil rozumně.

Omlouvám se za chybu, byl jsem příliš zbrklý.

Pavel · 15. 10. 2010 09:35

1. Dokažme, že je posloupnost $a_n$ omezená. Platí $a_n\in(2,25),\ \forall n\in\mathbb{N}$ . Použijme matematickou indukci:

a) $a_1\in(2,25)$ .

b) předpokládejme, že $a_k\in(2,25)$ a dokažme $a_{k+1}\in(2,25)$ :

$2<a_k<25\ \Rightarrow\ 54<27a_k<675\ \Rightarrow\ 4<27a_k-50<625\ \Rightarrow\ 2<\sqrt{27a_k-50}<25\ \Rightarrow\ 2<a_{k+1}<25\ \Rightarrow\ a_{k+1}\in(2,25).$

Posloupnost je tedy omezená.

2. Ukažme, že posloupnost $a_n$ je rostoucí, tzn $a_{n+1}>a_n,\ \forall n\in\mathbb{N}$ :

$a_n\in(2,25),\ \forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ (a_n-2)(a_n-25)<0,\ \forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ a_n^2-27a_n+50<0,\ \forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ a_n^2<27a_n-50,\ \forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\nl \Rightarrow\ a_n<\sqrt{27a_n-50},\ \forall n\in\mathbb{N}\ \Rightarrow\ a_n<a_{n+1},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Posloupnost je tedy rostoucí.

Limita se vypočítá ze vztahu $a=\sqrt{27a-50}$ . Řešení vyjde $a=2$ a $a=25$ . Vzhledem k počáteční podmínce a faktu, že posloupnost $a_n$ je rostoucí, je správná limita druhá, tj. $a=25$ .

predsaja · 16. 10. 2010 11:50

Dakujem.

A mozem hned na zaciatku predpokladat, ze an patri (2,25)? Teda podla mna sa to robi v poradi: 1. dokazem, ze limita existuje, tj dokazem, ze je rastuca/klesajuca a ohranicena 2. vyratam limitu, tj cisla 2, 25 a ktore cislo sedi, to je limitou

Teda keby som mala inu postupnost zadanu rekurentne. Ako viem, ze ma patrit nejakemu intervalu a ako viem akemu?

predsaja · 20. 10. 2010 20:02

nikto?

Kondr · 20. 10. 2010 20:11

↑ predsaja: Pavel to udělal přesně tak, jak popisuješ: v bodě 1) dokázal, že je omezená, v bodě 2), že je rostoucí, následně našel limitu jako pevný bod rekurentního vztahu a nakonec vybral ten pevný bod, který odpovídá rostoucí posloupnosti.

Matoucípro tebe je možná formulace "předpokládejme, že $a_k\in(2,25)$ ". V ní ale $k$ nemá funkci libovolného čísla, ale konstanty, pro kterou činíme indukční předpoklad (a dokazujeme pak krok z n=k na n=k+1).

Marian · 20. 10. 2010 20:11

↑ predsaja:

Mám připraveno řešení, které je elementárnější, ale kde najít půl hodinky času, abych to sem naklepal. Nejsem si jistý, jestli to stihnu tento týden, ale pokusím se.

Pavel · 20. 10. 2010 22:26 — Editoval Pavel (20. 10. 2010 22:27)

↑ predsaja:

Uvedu důkaz, v němž nebudu využívat toho, že již dopředu znám limitu posloupnosti $a_n$ .

1. Dokažme, že posloupnost $a_n$ je rostoucí, tzn. $a_{n+1}>a_n,\ \forall n\in\mathbb{N}$ . Použijme matematickou indukci:

$a_2=\sqrt{27\cdot 3-50}=\sqrt{31}\,>\,3=a_1\qquad\Rightarrow\qquad a_2\,>\,a_1.$

Nechť $a_{k+1}\,>\,a_k$ . Dokažme, že $a_{k+2}\,>\,a_{k+1}$ .

$a_{k+2}-a_{k+1}=\sqrt{27a_{k+1}-50}-a_{k+1}\,>\,\sqrt{27a_k-50}-a_{k+1}=a_{k+1}-a_{k+1}=0\qquad\Rightarrow\qquad a_{k+2}>a_{k+1}.$

Posloupnost $a_n$ je rostoucí.

2. Dokažme, že posloupnost $a_n$ je omezená shora. Tzn. $\exists K\in\mathbb{R}\,:\, a_n\,<\,K,\ \forall n\in\mathbb N$ . Pokusme se najít takovou postačující podmínku pro $K$ , že bude-li platit $a_n<K$ , pak $a_{n+1}<K$ , $\forall n\in\mathbb N$ . Je-li $a_n<K$ , pak

$a_{n+1}=\sqrt{27a_n-50}\,<\,\sqrt{27K-50}\,<\,\sqrt{27K}.$

Má-li platit $a_{n+1}<K$ , pak stačí, aby $\sqrt{27K}\leq K$ , tj. $K\geq 27$ . Pro takové K lze pak omezenost shora posloupnosti $a_n$ dokázat pomocí matematické indukce. Jinak řečeno, indukcí lze lehce dokázat, že $a_n\,<\,27\ \forall n\in\mathbb N$ .

Posloupnost $a_n$ je omezená shora.

Posloupnost $a_n$ má tedy limitu. Zbytek je jasný.

Marian · 21. 10. 2010 16:32 — Editoval Marian (21. 10. 2010 16:33)

↑ Pavel:

Ano, přesně takto jsem chtěl postupovat. Důkaz monotonie bych zapsal ještě trochu jinak, ovšem věřím, že předpoklad o platnosti $a_{k+1}>a_k$ nebude matoucí.

Chtěl jsem totiž dokázat, že znaménko diferencí se nemění (a zapsat to celé pomocí funkce signum). Tedy stačí znát znaménko první diference ( $a_2-a_1$ ). Ovšem ve své podstatě píše Pavel totéž.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2010 21:37

dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#2 14. 10. 2010 21:59 — Editoval Kondr (14. 10. 2010 22:28)

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#3 14. 10. 2010 22:03

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#4 14. 10. 2010 22:12

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#5 14. 10. 2010 22:15

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#6 14. 10. 2010 22:29

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#7 15. 10. 2010 09:35

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#8 16. 10. 2010 11:50

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#9 20. 10. 2010 20:02

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#10 20. 10. 2010 20:11

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#11 20. 10. 2010 20:11

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#12 20. 10. 2010 22:26 — Editoval Pavel (20. 10. 2010 22:27)

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

#13 21. 10. 2010 16:32 — Editoval Marian (21. 10. 2010 16:33)

Re: dokaz, ze postupnost ma limitu? ako na to?

Zápatí