Matematické Fórum

Olin · 14. 10. 2010 23:07

Zdravím kolegy,

tato otázka mi již několik dní vrtá hlavou:

Mějme "běžný" vektorový prostor $\mathbb{R}^n$ ( $n \in \mathbb{N}$ ) nad tělesem $\mathbb{R}$ , opatřený nějakou normou $\parallel \cdot \parallel$ . Platí pro všechna $x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n \in \mathbb{R}$ nerovnost

$\parallel (0,\, x_2,\, \ldots,\, x_n) \parallel \leq \parallel (x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n) \parallel$ ?

Přijde mi, že všemožné verze trojúhelníkové nerovnosti o tom nic neříkají. Na druhou stranu, všechny "standardní" normy se tváří, že to splňují. Díky za jakékoliv postřehy! Nepotřebuji celé řešení, stačí snad i jen drobné naznačení.

Pavel Brožek · 15. 10. 2010 00:09

↑ Olin:

Zdravím.

Pokusil jsem se najít normu, kde by to neplatilo. Velmi narychlo jsem si i dokázal, že to je skutečně norma (takže nevylučuju, že to nakonec nebude norma).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 15. 10. 2010 16:54

Zdravím, díky moc za vyřešení. Trojúhelníkovou nerovnost se asi nikomu dokazovat nechce, tak aspoň takto:

Code:

In[2]:= Reduce[
 ForAll[{a, b, c, d}, 
  Sqrt[(a + b + c + d)^2/4 + (a - b + c - d)^2] <= 
   Sqrt[(a + b)^2/4 + (a - b)^2] + 
    Sqrt[(c + d)^2/4 + (c - d)^2]], {a, b, c, d}, Reals]

Out[2]= True

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2010 23:07

Může se norma zmenšit?

#2 15. 10. 2010 00:09

Re: Může se norma zmenšit?

#3 15. 10. 2010 16:54

Re: Může se norma zmenšit?

Code:

Zápatí