Matematické Fórum

350 · 14. 10. 2010 21:26

Zdravím, při řešení kubických rovnic cardanovými vzorci jsem došel k výsledkům součtu dvou třetích odmocnin z iracionálních čísel. Pod jednou je určitý výraz a pod druhou jeho převrácená hodnota (=na minus prvou). Zajímavé je, že za těmito složitými výrazy se někdy skrývá někdy docela obyčejné a jednoduché číslo. Je mi jasné, že v případě kubické rovnice je lepší zkusit hned rozložit na kvad. a lin. rovnici - zkusit vetu o racionalnich kořenech atd... . Ale to nechci řešit. Zajímá mě, jestliže dospěju pomocí vzorce k takovému složitému výrazu, zda se pak dá nějak upravit na to jednoduché číslo (jinak, než že tupě celý výraz naťukám do kalkulačky). Prostě nějaký důkaz, že tomu opravdu tak je - z jedné strany rovnice přejít na druhou. Pro příklad uvádím složitě vyjádřený reálný kořen rovnice x^3 - 3x - 18 =0 .

Olin · 14. 10. 2010 21:56 — Editoval Olin (14. 10. 2010 21:59)

Nevím, jestli je to úplně ten postup, který chceš slyšet, ale lze postupovat např. takto:

Budeme potřebovat zejména skutečnost $(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80}) = 1$ .

Nechť $A = \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ . Potom

$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$^2 A = 9 + \sqrt{80} + \sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$ (rovnost se vynásobila $$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$^2$ )
$$\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$^2 A = 9 - \sqrt{80} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ (rovnost se vynásobila $$\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$^2$ ).

Sečteme-li získané rovnosti, dostaneme

$\[$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$^2 + $\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$^2\]A = 18 + A$ .

Ovšem

$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}$^2 + $\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$^2 = $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$^2 - 2 \cdot \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = A^2 - 2$ ,

takže nakonec dostáváme

$(A^2-2)A = 18 + A\nl A^3 - 3 A - 18 = 0$ .

Jelikož chceme, aby platilo $A = 3$ , dosadíme za A a zjistíme, že je rovnost splněna. Podělením kubického polynomu na levé straně kořenovým činitelem $(A-3)$ získáme kvadratický dvojčlen bez reálných kořenů, takže může být pouze $A = 3$ .

Inspiroval jsem se postupem kolegy Pavla zde.

zdenek1 · 14. 10. 2010 22:08

↑ 350:

$9+\sqrt{80}=\left(\frac32+\frac{\sqrt5}2\right)^3$
a
$9-\sqrt{80}=\left(\frac32-\frac{\sqrt5}2\right)^3$

takže celý ten výraz se redukuje na $\frac32+\frac32$

350 · 15. 10. 2010 13:02

Díky za pomoc! Zdenek1: to mě vubec nenapadlo, je to dost genialni napad jak se zbavit tech otravných třetích odmocnin, jenže, jak jsi přišel na ten výraz v závorce? Jen tak zkusmo, nebo k tomu vedou taky nějaké rovnice? A Vyvstává další otázka, a to zda se tímhle postupem dá řešit i když nevíš, že výsledek má vyjít 3. ? Díkes

zdenek1 · 15. 10. 2010 13:43

↑ 350:

Pokud nevíš, co má vyjít, tak to půjde asi těžko. Potřebuješ vědět aspoň, že má vyjít přirozené číslo.
Toto samozřejmě nebude fungovat vždy, protože některé rovnice nemají celočíselné výsledky, a pak je na ně nemůžeš upravit.

V tomto konkrétním případě to bylo trochu zkusmo a trochu úvahou.
Jsou jasné dvě věci:
a) to doplnění na třetí mocninu tam musí být, jinak se těch odmovnin nezbavíš
b) někde tam bude $\sqrt5$ , protože $\sqrt{80}=4\sqrt5$ . Takže jsem hledal koeficienty ve výrazu $(a+b\sqrt5)^3$ . První co mě napadlo, bylo $(1+\sqrt5)^3$ , ale to byla samozřejmě blbost, protože to nedává součet 3, takže pak se nabízely $\frac32$ a dopočítával jsem $b$ .

350 · 15. 10. 2010 14:20

Škoda no. To, že "a" v tvém výrazu bude 3/2 je jasné z toho že 2a se musí rovnat 3 ( součet dvou stejných čísel) k tomu jsem došel taky, i s tou odmocninou že tam musí být - na to jsem taky tak nějak přišel, a taky na to, že se v tom binomickém rozvoji ta odmocnina projeví pouze v druhém a čtvrtém členu ( tam jsou odmocniny umocněné na lichý exponent, takže tam zůstanou). Takže z toho lze vytvořit rovnici, ale bohužel opět kubickou, takže to vede tak maximálně do zacyklení :-D
Ta rovnice je tady:

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2010 21:26

Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

#2 14. 10. 2010 21:56 — Editoval Olin (14. 10. 2010 21:59)

Re: Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

#3 14. 10. 2010 22:08

Re: Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

#4 15. 10. 2010 13:02

Re: Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

#5 15. 10. 2010 13:43

Re: Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

#6 15. 10. 2010 14:20

Re: Prirozene cislo vyjadrene iracionalnimi

Zápatí