Matematické Fórum

Kolik proměnných má mít ten mnohočlen?

↑ blanvan:
Myslím že můžeme předpokládat, že autor má na mysli polynomy s jednou proměnnou. Bude potřeba se podívat na definici polynomu, resp. na definici stupně polynomu, a napsat, jak tedy polynom třetího stupně vypadá. To je první část úlohy. Ty výrazy co napsala jsou skutečně polynomy třetího stupně (resp. funkční hodnoty dvou různých polynomů v bodě t). Není to ale dostatečně obecné, dosadila jsi tam natvrdo určitá čísla. Musíš vyjít z té definice. Co to je vůbec polynom?

Druhá část pak bude o uvažování jestli množina všech takových polynomů tvoří lineární prostor, tedy jestli je (při známé definici sčítání polynomů a jejich násobení číslem) splněno oněch 8 axiomů a množina je uzavřená na ty operace, na které má má být.

Tak z toho moc moudrá nejsem..
První část - myslim, že všechny mnohočleny třetího stupně jsou:
ax^3+ bx^2 + bx + c
ax^3 + bx + c
ax^3 + c
ax^3
ax^3 + bx^2
ax^3 + bx

Druhá část:
Myslim, že tyto mnohočleny splňují všech 8 axiomů a tvoří lineární prostor.

Jakože mám napsat, že a,b jsou R čísla? Moc to nechápu..

Děkuji za opravu, furt na to zapomínám: takže a,b "leží v " R - {0} (Chtěla jsem to napsat před TeX, ale nemám na klávesnici obrácené lomítko.)

Na definici jsem se dívala: Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem.

Myslim, že bude stačit tento řádek:
ax^3 + bx

Když si tento polynom rozložím, tak pokud se nemýlim, obsahuje všechny ostatní polynomy.

Jen se po mně v zadání chce, abych vypsala všechny polynomy, tak bych asi měla vypsat všechny, které jsem uvedla výše, pokud to chápu dobře.
Jinak odpověď, že tvoří lineární prostor je správně?

Děkuji moc!

Byla jsem v práci, tak se omlouvám, že píši až teď..

To je fakt, do polynomu, který jsem vybrala, se mi x^3 + 1 neschová. Musí to být polynom P(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d. Podmínkou bude, aby a "leželo"  v " R - {0} a pro b, c, d leží v R. Koeficient a se nesmí rovnat 0, protože pak by se již nejednalo o polynom 3. stupně a pokud by bylo např. a,b,c = 1 a d = 0, pak bych dostala polynom P(x) = x^3 + x^2 + x, nebo a,c, d = 1 a b = 0, tak bych měla zase polynom P(x) =  x^3 + x + 1, apod. Je to ta podmínka?

A k té druhé otázce, co bude plnit úlohu nulového vektoru, nevim, co si mám pod tim představit :( chápu to, že aby byla množina všech těchto mnohočlenů lineárním prostorem, musí existovat nějaký vektor např. o (0,..,0) a pak x + 0 = x. Jen mě teď napadlo, že množina všech mnohočlenů stejného stupně lineární prostor tvořit nemůže, protože pokud bych sečetla např. P(x) = 2x^3 + x^2 a P(x) = -2x^3 + x^2 + 1, dostanu polynom druhého stupně. Mám pravdu nebo jsem zase vedle jak ta jedle? :)

Tak to jsem ráda, děkuji moc za pomoc!!!!!