Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 17. 10. 2010 11:25
množiny
Dobrý den,
diskrétní matematiku jsem momentálně začal ve škole brát a zatím z ní nejsem moc chytrý a potřeboval bych pomoci, poradit, jak se dělá důkaz například k této úloze:
Nechť S je množina kladných sudých čísel a nechť f : N → S je dáno
předpisem f (n) = 2n. Pak f je vzájemně jednoznačné přiřazení, takže |N| = |S|.
Všimněme si, že S je stejně mohutná vlastní část množiny N, což u konečných
množin není možné. Dokonce pro kladná lichá čísla L = N S platí |L| = |S| = |N|
(dokažte!), takže se N skládá ze dvou disjunktních částí stejně mohutných, jako je
původní množina N.
Předem všem lidem kteří mi budou nápomocni děkuji, protože se v tom topím a nevím si vůbec rady.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) jelena)
#2 17. 10. 2010 11:53
Re: množiny
Abys dokázal, že mohutnost množiny X je stejná jako mohutnost Y, potřebuješ najít nějaké vzájemně jednoznačné zobrazení mezi nimi, stejně jako je to v zadání provedeno pro N a S. Pro S a L vezmeš např. g: S →L předpisem g(x) = x-1, protože je g vzáj. jednozn., tak platí |S| = |L|. Zbývá ti už jen dokázat |N| = |L|, což dostaneš z tranzitivity rovnítka z předchozího, nebo můžeš zase najít zobrazení.
Offline
#5 17. 10. 2010 12:39
Re: množiny
Důkaz je demonstrace, že z předpokladů nutně vyplývá daný závěr. V logice existuje pro důkaz formální definice, ale ty úplně formální důkazy nejsou moc intuitivní ani přehledné. Obvykle píšeme "napůl formální" důkazy, kde každý ne úplně formální krok je snadno obhajitelný (a šel by formalizovat).
Když hledáš důkaz, tak je potřeba si uvědomit, z čeho vycházíš a co z toho chceš získat. Tady jsi chtěl získat |S| = |L| a vycházíš z definice množin S a L. Rovnost mohutností prokážeš nalezením nějaké bijekce, neboli vzájemně jednoznačného zobrazení (to víš z definice mohutnosti). Nalezení nějaké bijekce je jediný netriviální krok v tomto důkazu. Mohl bys ji nakreslit, ale pro nekonečné množiny se to kreslí špatně, lepší je ji zapsat formulkou pro všechny hodnoty naráz. Jakmile tu bijekci máš, tak prostě řekneš: protože jsem našel tuto bijekci, tak mají ty množiny stejnou mohutnost: |S|=|L|, konec důkazu.
V diskrétce si ukážete celou řadu metod důkazů pomocí indukce atd., když to nebudeš flákat, určitě tomu přijdeš na kloub :-)
Offline
#6 17. 10. 2010 12:58
Re: množiny
děkuji, ale mám ten úkol tedy je jich 6 odevzdat ve středu a teď akorát vím o co jde ale ne jak to napsat respektive pochopil jsem díky tobě Faulte, o co jde, nikoliv však jak to tedy zapsat, pokud (což chápu) nejde zobrazit daný důkaz pomocí bijektivního zobrazení... jak tedy??
Offline
#8 17. 10. 2010 13:22 — Editoval Fauſt (17. 10. 2010 13:25)
Re: množiny
Není mi moc jasné, v čem je problém. Důkaz se nezobrazuje, důkaz se prostě napíše :-). A součástí toho důkazu je ta bijekce... Když to napíšu formálněji:
Věta 1: Množina sudých kladných čísel S má stejnou mohutnost jako množina lichých kladných čísel L.
Důkaz:
Definujme zobrazení g: S →L předpisem g(x) = x-1.
Zobrazení g je vzájemně jednoznačné => |S| = |L|
Konec důkazu.
Věta 2: Množina přirozených čísel N má stejnou mohutnost jako S i L.
Důkaz:
Z věty 1 máme |S| = |L|.
V zadání příkladu je dokázáno, že |N| = |S|.
Tedy |N| = |S| = |L|
Konec důkazu.
Offline
#10 17. 10. 2010 13:59
Re: množiny
maestorm napsal(a):
a ten předpis byste mi prosím ještě mohl vysvětlit, proč se uvádí, co znamená,...?
Abys mohl tvrdit, že |S| = |L|, tak potřebuješ ukázat, že nějaká bijekce mezi S a L existuje. To ukážeš tak, že na nějakou přijdeš a do toho důkazu ji napíšeš. Ptáš se: jaká funkce mi přiřadí ke každému číslu z S právě jedno číslo z L? Těch se dá vymyslet nekonečně mnoho, nejjednodušší je třeba taková, co vezme vždy nejbližší nižší liché číslo: dvojce přiřadí jedničku, čtyřce trojku atd. Jak tu funkci napsat matematicky? Předpisem – předpis funkce g tu funkci jednoznačně popisuje, pro každou hodnoty z množiny S určí jednu hodnotu z množiny L.
g(2) = 1
g(4) = 3
g(6) = 5
...
g(x) = x-1
Kdybych se v těch důkazech chtěl vrtat, tak můžu chtít ještě dokázat, že ta funkce opravdu je bijekce. To bys pro ni pak musel najít ještě inverzní funkci, ale v tom důkazu v zadání nedělají, takže to považujme za triviální...
Btw. správný přepis nicku do latinky je Faust :-)
Offline