Matematické Fórum

scotty07 · 17. 10. 2010 18:14

Dobrý den, Nevím si rady se 3 příklady z této tématiky, doufám, že se zde najde někdo ochotný mi pomoci s řešením :)

1) Napište rovnici kružnice, která prochází body K[3;2], L[1;-4] a má střed na přímce p: x-y+9=0
2) Napište rovnici kružnice opsané trojuhelníku ABC. Vypočítejte souřadnice středu a poloměr. A[-5;0] B[2;-1] C[1;2]
3) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy y v bodě Y[0;-4] a osu x protíná v bodě X[6;0]

Velice děkuji každému, kdo mi bude nápomocen :)

zdenek1 · 17. 10. 2010 18:27

↑ scotty07:
1)
když je střed na té přímce, musí mít souřadnice $S[x,x+9]$
Vzdálenosti bodů K, L od středu musí být stejné (r)

$(3-x)^2+(2-x-9)^2=(x-1)^2+(-4-x-9)^2$
a vyřešíš rovnici, dostaneš střed a vypočítáš poloměr

zdenek1 · 17. 10. 2010 18:34

↑ scotty07:
3)
Střed bude mít souřadnice $S[x,-4]$ a poloměr bude $x$ .
Dosazením souřadnic bodu $X$ do rovnie kružice bude
$(6-x)^2+(0+4)^2=x^2$

vyřešíš rovnici a je to.

gadgetka · 17. 10. 2010 18:46

1)
Rovnice kružnice:
$k:\ (x-m)^2+(y-n)^2=r^2\nl K\in k:\ (3-m)^2+(2-n)^2=r^2\nlL\in k:\ (1-m)^2+(-4-n)^2=r^2$

Pravé strany se rovnají, tak se musí rovnat i levé strany:
$(3-m)^2+(2-n)^2=(1-m)^2+(-4-n)^2\nl9-6m+m^2+4-4n+n^2=1-2m+m^2+16+8n+n^2\nl4m+12n+4=0|:4\nlm+3n+1=0\Rightarrow m=-3n-1$

$S(m;n) \in p:\nl m-n+9=0\nl-3n-1-n+9=0\nl4n=8\nln=2\nlm=-7$

$k:\ (x+7)^2+(y-2)^2=r^2\nl S(-7;2)\nl \vec{SK}=K-S=(10,0)\nl|SK|=\sqrt{100}=10\nlr=10$

$k:\ (x+7)^2+(y-2)^2=100$

gadgetka · 17. 10. 2010 19:19

2)
Středová rovnice kružnice:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2\nl x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2-r^2=0\nl -2m=A\nl-2n=B\nlm^2+n^2-r^2=C\nl x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Dosadíme vrcholy trojúhelníku, kterými kružnice prochází:
A[-5;0] B[2;-1] C[1;2]

$25-5A+C=0\nl5+2A-B+C=0\nl5+A+2B+C=0$

$(1)-5A+C=-25\nl(2)2A-B+C=-5\nl(3)A+2B+C=-5$

$z(1):\ C=5A-25$

$2A-B+5A-25=-5\nlA+2B+5A-25=-5$

$(1)7A-B=20\nl(2)6A+2B=20$

$2\cdot (1)+(2):\ 20A=60\nlA=3\nlz(1):\ B=7A-20\nlB=1\nlC=15-25=-10$

$-2m=3\Rightarrow m=-\frac{3}{2}\nl-2n=1\Rightarrow n=-\frac{1}{2}\nlm^2+n^2-r^2=C\Rightarrow \frac{9}{4}+\frac{1}{4}-r^2=-10\Rightarrow 10-4r^2=-40\Rightarrow 50=4r^2\Rightarrow r^2=\frac{25}{2}$

$k:\ $x+\frac{3}{2}$^2+$y+\frac{1}{2}$^2=\frac{25}{2}$

$S(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2})$
$r=\frac{5\sqrt2}{2}$

gadgetka · 17. 10. 2010 20:50

1) by šla řešit i tak, že střed kružnice je průsečíkem přímky p a osy úsečky KL
Střed úsečky KL má souřadnice: $$\frac{3+1}{2},\ \frac{2+(-4)}{2}$=S_{KL}(2; -1)$
$K(3;2)$

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\nly-2=\frac{-1-2}{2-3}(x-3)\nly-2=3(x-3)\nly-2=3x-9\nly=3x-7\nlk_1=3$

$k_1\cdot k_2=-1\nl3k_2=-1\nlk_2=-\frac{1}{3}$

Osa úsečky KL má rovnici
$y=-\frac{1}{3}x+q\nlS_{KL}\in o_{KL}:\nl -1=-\frac{1}{3}\cdot 2+q\nl-3=-2+3q\nlq=-\frac{1}{3}\nly=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\nl3y=-x-1\nlx+3y+1=0$

$(1)x+3y+1=0\nl(2)x-y+9=0\nl(2)-(1):\ -4y+8=0\nly=2\nlz (2):\ x=-7$
$S(-7;2)\nlr=|SK|=\sqrt{10^2+0^2}=10$

$(x+7)^2+(y-2)^2=100$