Matematické Fórum

melian.m · 17. 10. 2010 15:38

Ženu cestující letadlem postupně přepraví čtyři letecké společnosti. Pravděpodobnost, že se ztratí kufr u první společnosti, je 2 %. Pravděpodobnost, že se ztratí kufr u druhé společnosti, je 4 %. Pravděpodobnost, že se ztratí kufr u třetí společnosti, je 3%. Pravděpodobnost, že se ztratí kufr u čtvrté společnosti, je 4 %.

(a) Jaká je pravděpodobnost, že se kufr ztratí? (na 4 des. místa)
(b) Když žena dorazila do cíle své cesty, zjistila, že kufr zmizel. Jaká je pravděpodobnost, že kufr ztratila 3. společnost? (na 4 des. místa)

Předem děkuji za odpověď

halogan · 17. 10. 2010 15:47

Dobrý den,

prosil bych, děkuji, hezký den přeji, ... máme tu jistá pravidla.

a) Máš nejméně dvě možnosti:
1) Spočítáš pravděpodobnost komplementního jevu — že se zavazadlo neztratí. To je celkem jednoduché. Pak to odečteš od jedničky a máš hotovo.
2) Spočítáš jevy — že se ztratí u první společnosti; že se ztratí u druhé společnosti; ... — jelikož tyto jevy jsou navzájem exkluzivní (disjunktní? nebo jaký je ten termín), tak výsledná pravděpodobnost je jejich součet.

b) Muselo to projít bez úhony první společností * projít druhou společností * neprojít třetí společností. Ta čtvrtá nás v tomto výpočtu nezajímá.

melian.m

Dobrý den,

a)
1) pokud bych to řešila tímto způsobem - neměla bych do toho zahrnout i fakt, že pokud se ztratí zavazadlo u první společnosti, tak u druhé atd. se už ztratit nemůže? a další možnosti....
2)a vzhledem k tomu, podle mě, že jevy nejsou nezávislé tak nevím jak pokračovat

b) děkuji :)

Děkuji za odpověď

Omlouvám se za vynechání zdvořilostí.

halogan · 17. 10. 2010 17:17

↑ melian.m:

a)

1) Pokud se ztratí u jedné společnosti, tak už nemáme zavazadlo a žádná pravděpodobnost u dalších letů se neřeší, prostě není. Ale o ztrácení nám tady ani nejde — jak píšu — počítal bych situaci, že se zavazadlo neztratí.

2) Tady jsem to trochu zvláštně popsal, myslel jsem to takto: buďto ze ztratí u první společnosti, nebo projde první společností v pohodě ztratí se až u té druhé, nebo projde prvníma dvěma a ve třetí se ztratí, nebo projde prvníma třema a u čtvrté se ztratí. To jsou 4 navzájem neslučitelné události a vyčerpají veškeré možnosti toho, že "kufr se ztratil". Můžeš je tedy sečíst.

Já sám počítám u takovýchto úloh způsobem 1), ale někdy se 2) může hodit.

2) Kolik vám to vyšlo? Pro kontrolu.

(omlouvám se za neznalost českých pojmů, snad je to srozumitelné)

melian.m

↑ halogan:

a) Chtěla bych se zeptat, zda by nešlo použít i vzorec pro sjednocení jevů $http://upload.wikimedia.org/math/e/f/c/efc51272c60776043e9e5e47c698b023.png$ , avšak v tomto případě se mi zdá, že by došlo k tomu, že např. cestující ztratil zavazadlo v 1. společnosti a dále by se s ním počítalo.
Přes tento vzorec by mi to pak vyšlo 0,1089

Výsledky
a) 0,02 + 0,98* 0,04 + 0.98*0,96*0,03+ 0,98*0,96*0,97*0,01= 0,096549...
děkuji za ten doplňek - ten mě vůbec nenapadl :)
b)0,98*0,96*0,03= 0,028224

Děkuji za konzultaci

halogan · 17. 10. 2010 18:38

↑ melian.m:

a)

melian.m napsal(a):
a) Chtěla bych se zeptat, zda by nešlo použít i vzorec pro sjednocení jevů

Samozřejmě, dalo, já ho vlastně používám u té druhé možnosti. Označme $A_i$ jev, že se zavazadlo ztratí u i-té společnosti. Pak ale $P(A_i \cap A_j) = 0$ , kde $i \neq j$ , protože se zavazadlo ztratit nemůže na dvou různých místech.

Platí tedy sjednocení navzájem vylučujících se pravděpodobností (opět omluva za terminologii):

$P(\cup A_i) = P(A_1) + P(A_2) \dots$ (+ nějaké indexy apod.)

To platí, protože není co odečíst, všechny ty průniky dávají nulovou pravděpodobnost.

---

Co se týče výsledku, tak ten si díky znalosti dvou postupů můžete ověřit. Musí vyjít stejně. Tady přes doplněk zjistíte, že jste udělala menší chybu — na konci má být *0.04, nikoliv *0.01. Pravděpodobnost pak bude něco přes 12 %.

b) Souhlas.

---

Je vše jasné?

melian.m

Děkuji za skvělé rady a ověření výsledků.

Pokud byste ještě měl nějaký ten čas, mohl byste mi blíže vysvětlit ještě větu o sjednocení ( $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Copaque{}P(%5Ccup%20A_i)%20=%20P(A_1)%20+%20P(A_2)%20%5Cdots$ )
Pokud to chápu dobře, tak by mi vyšlo 0,13 (součet pravděpodobnosti, že dojde ke ztrátě zavazadla) - avšak od toho bych něco ještě musela odečíst, neboť musím získat výsledek něco kolem 0,12..

Kdybyste si na řešení tohoto případu našel čas, byla bych velmi ráda, ale jinak toto téma budu považovat za vyřešené.

Tímto Vám znovu chci poděkovat za skvělou spolupráci

halogan · 17. 10. 2010 19:21

↑ melian.m:

Určitě.

Nevyjde vám 0.13, vyjde vám 0.1239 (pokud tam na konci opravíte 0.01 na 0.04), což je správný výsledek. Odečítat není co, vysvětlím.

Normálně platí vámi zmíněná věta:

$http://upload.wikimedia.org/math/e/f/c/efc51272c60776043e9e5e47c698b023.png$

Pokud si ale svůj sample space (množina jevů?) rozdělíte na eventy, které vyčerpají celý sample space (tj. $\cup A_i = S$ ) a zároveň jsou pairwise disjoint (každé dva jsou disjunktní, tedy $A_i \cap A_j = \empty$ pro každé i, j takové, že $i \neq j$ ), tak si z toho složitého vzorce můžete všechny ty průniky odstranit. Protože pokud jsou všechny tyto jevy navzájem disjuktní, tak nikdy nemůžou nastat v jeden okamžik.

Pak platí mnou uvedený vzorec pro sjednocení eventů.

---

Takže eventy "zavazadlo se ztratí na i-té letu" jsou navzájem disjuktní, protože nemůžou nikdy nastat zaráz. Naopak třeba eventy "zavazadlo se ztratí nejpozději na i-tém letu" by už nebyly navzájem disjuktní a něco by se odčítalo, protože by se ty eventy odčítaly.

---

Zbytečně složitě a se špatnou terminologií (omluva) tady vysvětluji celkem nesofistikovanou věc, tak se kdyžtak zeptejte na nějaký konkrétní krok.

halogan · 17. 10. 2010 19:33

Ještě mě napadá jedno vysvětlení:

Mějme 3 eventy: A, B, C a zobrazme si jejich pravděpodobnost jako tři množiny ve Vennově diagramu.

Pokud budeme chtít vědět, kdy se stane alespoň jeden z nich ( $P(A \cup B \cup C)$ ), tak můžeme sečíst P(A), P(B) a P(C), ale tím vícekrát sečteme ty "překryvy" jednotlivých množin, které pak musíme různě odečítat a přičítat.

Jelikož ale my tu u ztracený zavazadel nemáme žádné překryvy, můžeme si sečíst jen ty jednotlivé pravděpodobnosti a žádné dvojté započítávání nás nezajímá.

melian.m · 17. 10. 2010 20:07

Už to konečně chápu, s terminologií si nedělejte hlavu, jsem upřímně ráda, že mi věnujete svůj čas.

Souhlasím s Vámi ohledně výsledku 0,1239.

Nevím si rady s
$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Copaque{}P(%5Ccup%20A_i)%20=%20P(A_1)%20+%20P(A_2)%20%5Cdots$ = 0,13
(0,02 + 0,04 + 0,02 + 0,04 = 0,13)
Nevím, jak dostat z 0,13 správný výsledek 0,1239. Napadlo mě, že pokud bych to počítala větou o sjednocení disjunktních jevů pak nerozlišuji, na kterém letišti jsem zavazadlo ztratila.

Naopak třeba eventy "zavazadlo se ztratí nejpozději na i-tém letu" by už nebyly navzájem disjuktní a něco by se odčítalo, protože by se ty eventy odčítaly.

To trochu nechápu. Pokud bych měla nejpozději na např 3-tím letu. Tak to budu řešit asi $P(A)=P(A_1)+P(A_1^C) \cdot P (A_2) + P(A_1^C) \cdot P (A_2^C) \cdot P(A_3)$ , pro $P(A_i)$ .....ztratím zavazadlo na i-tem letu, $P(A_i^C)$ ......neztratim zavazadlo na i-tem letu.

Zde si nejsem jistá pokud bych to počítala "větou o sjednocení" co budu vlastně odečítat

halogan · 17. 10. 2010 20:21

melian.m napsal(a):
Nevím si rady s
http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cg … %20%5Cdots = 0,13
(0,02 + 0,04 + 0,02 + 0,04 = 0,13)
Nevím, jak dostat z 0,13 správný výsledek 0,1239. Napadlo mě, že pokud bych to počítala větou o sjednocení disjunktních jevů pak nerozlišuji, na kterém letišti jsem zavazadlo ztratila.

Vy ale sčítáte špatné eventy. Nemůžete jen sečíst jednotlivé pravděpodobnosti ztráty, protože těm akcím něco předchází.

Možná si nerozumíme co se týče právě značení. Ty pravděpodobnosti (uvedené v zadání), že se zavazadlo ztratí u i-té společnosti jsou třeba $P_i$ , nás ale zajímá pravděpodobnost toho, že se po nějakých jiných akcích ztratí zavazadlo u i-té společnosti.

A to je $P(A_i) = $1 - P_1$ \cdots $1 - P_{i - 1}$ \cdot P_i$ — čili na všech předchozích letištích se neztratí a na tom i-tém už ano.

Omlouvám se, že jsem na začátku nestanovil jasné značení. Je tyhle pravděpodobnosti jasně odlišovat.

melian.m napsal(a):
Zde si nejsem jistá pokud bych to počítala "větou o sjednocení" co budu vlastně odečítat

Nejste si jista zcela správně, můj příklad byl naprosto špatný. Pardon. Teď mě z hlavy nic moc nenapadá.

melian.m · 17. 10. 2010 20:34

Jeee konečně tomu úplně rozumím :). Vůbec mi nedošlo že jeden z nás mluví o něčem jiném, ale nyní je mi všechno už na 100 % jasné.

Velice Vám děkuji za pomoc a doufám, že se mohu těšit na další spolupráci.

S pozdravem melian.m

anavim · 09. 10. 2012 11:08

Ahoj, a kdyby bylo následující:

Jaká je oravděpodobnost, že se letadlo ztratí u první společností?

To by bylo 0,02, nebo 0,02*0,96*0,97*0,96?

Pro mě je logická pouze 0,02. Díky za odpověď.

Ivana

jelena · 09. 10. 2012 21:04

↑ anavim:

Oni ztratili i letadlo? To je zcela nečekaný zvrat, vůbec jsem s tím v příběhu nepočítala.

K problému - podle mne je důležité, zda to zavazadlo je ztrácené a zjišťujeme pravděpodobnost, že ho ztratila právě 2. společnost.

anavim · 17. 10. 2012 21:57

↑ jelena:

Již jsem s pomocí na tomto forku přišla na výpočet. Můžu ale říci, že jsem se pobavila Vaší odpovědi :) Děkuji

jelena · 18. 10. 2012 00:34

↑ anavim:

:-) no to já se tady bavím pořád. Soundtrack ke zkušené manželce považuji za nejzdařilejší.

Brumla · 18. 10. 2012 10:09

Ahoj!
Můžu se teda zeptat, jak je to správně? jaká je pravděpodobnost, že kuft ztratila první společnost? Je to tedy 0,02, nebo 0,02*0,96*0,97*0,96?
Děkuji za odpověd! :)

jelena · 18. 10. 2012 10:52

↑ Brumla:

Zdravím,

podle mne ani jedno není dobře - úloha je vyřešena zde.

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2010 15:38

Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#2 17. 10. 2010 15:47

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#3 17. 10. 2010 16:33 — Editoval melian.m (17. 10. 2010 16:34)

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#4 17. 10. 2010 17:17

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#5 17. 10. 2010 17:35 — Editoval melian.m (17. 10. 2010 17:36)

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#6 17. 10. 2010 18:38

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

melian.m napsal(a):

#7 17. 10. 2010 19:03 — Editoval melian.m (17. 10. 2010 19:04)

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#8 17. 10. 2010 19:21

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#9 17. 10. 2010 19:33

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#10 17. 10. 2010 20:07

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#11 17. 10. 2010 20:21

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

melian.m napsal(a):

melian.m napsal(a):

#12 17. 10. 2010 20:34

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#13 09. 10. 2012 11:08

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#14 09. 10. 2012 21:04

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#15 17. 10. 2012 21:57

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#16 18. 10. 2012 00:34

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#17 18. 10. 2012 10:09

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

#18 18. 10. 2012 10:52

Re: Pravděpodobnost ztracení zavazadla

Zápatí