Matematické Fórum

Skrytý text:
(napletu-li se), pak to, že je fce omezená, můžeme chápat jako: její fční hodnoty /pro x z daného intervalu/ leží v pásu o šíři š = 2k
- příklad - taková fce je omezená a jak se snadno přesvědčme z grafu, všechny hodnoty leží v pásu -1; 1
- nyní se zaměříme na danou fci:

a má platit (je-li fce omezená): Existuje k z N takové, že pro každé x z A platí:

tedy:

všimneme si nyní, že první zlomek nabývá hodnoty pro x = -5 a  dále pak se zmenšujícím se x se hodnota tohoto zlomku blíží k 1, platí proto
V našem výpočtu můžeme tedy tento zlomek nahradit jedničkou - to proto, že - najdeme-li nějaké k pro takto upravený výraz (který je větší nebo alespoň roven původnímu výrazu) - pak bude i původní fce spadat do tohoto pásu /jen tam bude kousek místa navíc, což nám vůbec nevadí/

zbavím se abs. hodnoty


nyní vidím, že čím menší bude x, tím menší bude i zlomek -> dosadím-li co největší x z daného intervalu, získám jistě nějaké k, pro nějž bude platit původní nerovnost

tedy:

tedy - bude-li k rovno alespoň jedné třetině, pak na daném intervalu bude fce ležet v pásu -k, k

Skrytý text:
má platit: tedy
nyní provedu obdobné úpravy:
- na daném intervalu jistě platí: a
- nahradím tedy zlomek něčím, o čem vím, že je menší než daný zlomek - protože když přijdu na to, že je na daném intervalu taková fce neomezená, pak bude neomezená i fce původní

mám tedy
- zbavým se abs.h. a vyjádřím si x v závislosti na k (protože neomezenost fce odpovídá tomu, že pro každé k z N existuje na daném intervalu x takové...)



slovy: mám-li libovolné k, pak pro každé x menší než daný výraz platí, že f(x) neleží v pásu -k,k ; tedy spor s tím, že je omezená, je tedy neomezená

chtěli bychom ale ještě nějak konkrétněji určit x v závislosti na k -> zvolíme třeba: - mno jo, ale pro k dostatečně blízko nuly se stane to, že x je příliš veliké -> nenáleží zadanému intervalu
-> zvolme tedy $x := min(-2+\frac1{10k}; -1} (kde samozřejmě -1 můžeme nahradit libovolným prvkem z požadovaného intervalu)