Matematické Fórum

1.  Když n = 0:

Potom  |A| = 0 znamená, že A je prázdná množina.  Prázdná množina má jedinou podmnožinu, a sice sebe samu.
Tedy potenční množina prázdné množiny má jeden prvek,  neboli 2^0  prvků .

2.  Když  n je přiroz. číslo takové, že pro každou množinu A splňující |A| = n  platí, že  |P(A)| = 2^n :

Vezměme množinu  B  takovou, že |B| = n+1  .   Má tedy aspoň jeden prvek, který pevně zvolme a označme b .
Rovněž označme  A = B - {b} .  Platí |A| = n ,  proto dle ind. předpokladu je |P(A)| = 2^n .

Množina P(B) je složena z množin dvojího typu :

I.   ty,  které neobsahují prvek b,
II.  ty,  které obsahují prvek b.

Oba tyto typy jsou spolu disjunktní.

Množiny typu I.  jsou totožné s těmi, které patří do P(A) ,  jejichž počet je  2^n.

Vezmeme-li množinu C  typu I  a položíme-li f(C) :=  C U {b} , pak f(C) je množinou typu II.   

Snadno zjistíme, že zobrazení f je bijekce mezi oběma typy množin .  Počet množin II. typu je tedy stejný
jako počet mn. I. typu, tedy rovněž 2^n.

Počet množin I. a II. typu celkem je tedy  2^n  + 2^n   =  2 * 2^n  =  2^(n+1) .