Matematické Fórum

Majkl9102 · 17. 10. 2010 14:54

Prosím o vyřešení těchto dvou příkladů. Jsou to poslední dva příklady z 15, které nemám ještě vyřešené a už fakt na to nemá sílu a mozek se mi zavařil někde u 11 příkladu :o(

1) Nechť R je reflexivní a tranzitivní relace na X. Dokažte, že je ekvivalence na X.

2) Dokažte nebo vyvraťte protipříkladem pro libovolné dvě relace R1,R2 na množině X:

Předem děkuju za jakoukoliv pomoc a ochotu

Majkl9102 · 18. 10. 2010 09:25

↑ Majkl9102:nenašel by se někdo kdo by mi aspoň poradil jak na tu dvojku?

andrew512 · 18. 10. 2010 16:42

Taky nevím jak na to, pro zvolené relace to není až takový problém ale obecně to dokázat neumím. :(

Fauſt · 18. 10. 2010 17:52

U dvojky mi chybí nějaká definice těch funkcí fí, sigma a tau. Pro libovolné funkce asi by neplatilo nic.

Jednička:
Používám standardní zkratku $aRb$ místo $(a,b)\in R$ .
Uvědomění definice: $R^{-1} = \left{(b,a)|(a,b)\in R\right}$ , tzn $aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa$ (bude použito často)
dále $a(R\cap R^{-1})b \Leftrightarrow aRb\,&\,aR^{-1}b$
Důkaz symetrie:
$a(R\cap R^{-1})b \Rightarrow aRb\,&\,aR^{-1}b \Rightarrow bR^{-1}a\,&\,bRa \Rightarrow b(R\cap R^{-1})a$
Důkaz reflexivity:
$\forall a\in X\, aRa$ (R je reflexivní)
$aRa \Leftrightarrow aR^{-1}a$
$\forall a\in X\, aRa\,&\,aR^{-1}a \Rightarrow a(R\cap R^{-1})a$
Důkaz tranzitivity:
Předpokládám $a(R\cap R^{-1})b\,&\,b(R\cap R^{-1})c$ , chci získat $a(R\cap R^{-1})c$
$a(R\cap R^{-1})b\,&\,b(R\cap R^{-1})c\Rightarrow aRb\,&\,aR^{-1}b\,&\,bRc\,&\,bR^{-1}c \Rightarrow aRb\,&\,bRa\,&\,bRc\,&\,cRb$
$aRb\,&\,bRc\Rightarrow aRc$ (R je tranz.)
$cRb\,&\,bRa\Rightarrow cRa$ (R je tranz.)
$aRb\,&\,bRa\,&\,bRc\,&\,cRb \Rightarrow aRc\,&\,aR^{-1}c \Rightarrow a(R\cap R^{-1})c$
Relace $(R\cap R^{-1})$ splňuje všechny vlastnosti ekvivalence.