Matematické Fórum

HULKEE · 19. 10. 2010 09:02 — Editoval HULKEE (19. 10. 2010 09:19)

Ahoj, uplynula doba a jsem opět tady.

Potřebuju poradit s následujícím krokem při integrování (integraci?).

Mám příklad

Integrál cos^2 (1/2 * x) a potrebuju ho integrovat. Problem je ze opravdu nevim jak ho rozumne resit.

Jo a kdyz uz jsem u toho, nevite nekdo proc:

integral e^4x = (e^4x)/4 ?

Cheop · 19. 10. 2010 09:46 — Editoval Cheop (19. 10. 2010 10:41)

↑ HULKEE:
$\int e^{4x}\,dx$
Substituce
$4x=t\nl4dx=dt\nldx=\frac{dt}{4}$
$\int e^{4x}\,dx=\frac 14\int e^t\,dt=\frac{e^t}{4}=\frac{e^{4x}}{4}+C$
PS:
U toho integrálu, který chceš řešit nerozumím zápisu. Napiš to prosím slovně nebo to napiš srozumitelněji.

Stýv · 19. 10. 2010 12:03

↑ HULKEE: daj se použít nějaký, obvykle pracný, substituce, nebo využít vzorec cos(2x)=..., kde sin^2 na pravé straně nahradíš 1-cos^2 a vyjádříš to cos^2

gadgetka

$\int {\cos{\frac{x}{2}}}dx=\int {\cos t}2dt=2\int{\cos t}dt=2\sin t+c=2\sin{\frac{x}{2}}+c$

$t=\frac{x}{2}\nl\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}\nldx=2dt$

Cheop · 19. 10. 2010 14:18 — Editoval Cheop (20. 10. 2010 10:52)

↑ HULKEE:
$\int \cos^2{\left(\frac x2\right)}\,dx$ - tedy pokud je to ten integrál, který jsi chtěl počítat.
Substituce:
$\frac x2=t\nldx=2\,dt$
$\int \cos^2{\left(\frac x2\right)}\,dx=2\int \cos^2(t)\,dt$
$\int \cos^2(t)\,dt\nlu=\cos(t)\quad u^'=-\sin(t)\nlv^'=\cos(t)\quad v=\sin(t)$ - metoda per partes
$\int \cos^2(t)\,dt=\sin(t)\cdot\cos(t)+\int\sin^2(t)\,dt=\sin(t)\cdot\cos(t)+\int (1-\cos^2(t))\,dt$
$\int \cos^2(t)\,dt=\sin(t)\cdot\cos(t)+\int 1\,dt-\int\cos^2(t)\,dt\nl2\int \cos^2(t)\,dt=\sin(t)\cdot\cos(t)+t$
$\int \cos^2{\left(\frac x2\right)}\,dx=2\int \cos^2(t)\,dt=\sin(t)\cdot\cos(t)+t=\frac{\sin(2t)}{2}+t$
Vratka k substituci:
$\frac x2=t\nl\frac{\sin(2t)}{2}+t=\frac{\sin(2\cdot\frac x2)}{2}+\frac x2=\frac{\sin(x)+x}{2}+C$
2) Jednodušeji takto:
$\int \cos^2{\left(\frac x2\right)}\,dx=\int\frac{2\cos^2{\left(\frac x2\right)}}{2}\,dx=\frac{1-\sin^2{\left(\frac x2\right)}+\cos^2{\left(\frac x2\right)}}{2}\,dx$
Víme, že:
$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ tedy:
$1-\sin^2{\left(\frac x2\right)}+\cos^2{\left(\frac x2\right)}=1+\cos x$
$\int \cos^2{\left(\frac x2\right)}\,dx=\int\frac{1+\cos x}{2}\,dx=\frac 12\int dx+\frac 12\int\cos x\,dx=\frac{x+\sin x}{2}+C$