Matematické Fórum

Frantik88

Dokazte, ze $n! <= n^n$ pro $n \in N$ .

Udělal jsem základní krok, tedy:
Když $n_0 = 0$ , pak tedy $0!<=0^0$ , to jest $1 = 1$ , tudíž základní krok platí!

Indukční krok:

$(n+1)! <= (n+1)^{(n+1)}$
$(n+1) * n! <= (n+1)^n * (n+1) ^1$
$n! <= (n+1)^n$

A teď už nevím kam dál :-(.

Nevím, zda-li jsem postupoval správně, či jsem někde udělal chybu.

Mr.Pinker

ted stač dokázat že $(n+1)^n>=n^n$

Frantik88 · 20. 10. 2010 23:25

Nějak jsem nepochopil, proč?

Mr.Pinker

jelikož podle předpokladu máš $n! <= n^n$ tudíž pokud dokážeš že $(n+1)^n>=n^n$ tak zároven musí bejt vyšší než faktoriál

mikee · 20. 10. 2010 23:42

↑ Mr.Pinker:
Nemalo by tam byt $(n+1)^n \geq n^n$ ?

Mr.Pinker · 20. 10. 2010 23:44

jo jistě sorry to byl přepis

Frantik88 · 20. 10. 2010 23:50

Ano, ta dvojka mě vyvedla z míry, ale stejně nevím, jakým způsobem to mám dokázat.

Mr.Pinker · 20. 10. 2010 23:52

$(n+1)^n \geq n^n$ sem v oboru přírozených čísel tudíž to mohu uporavit jako
$n+1 \geq n$
$1 \geq 0$

mikee · 20. 10. 2010 23:52

↑ Frantik88:
Mozno pomoze, ked si trochu sprehladnime ten dokaz. Indukcny predpoklad je, ze $n! \leq n^n$ . Teraz chceme dokazat, ze $(n+1)! \leq (n+1)^{n+1}$ , pricom mozme vyuzit, ze plati indukcny predpoklad.
Takze samotny dokaz: $(n+1)! = (n+1) \cdot n! \leq (n+1) \cdot n^n \leq (n+1) \cdot (n+1)^n = (n+1)^{n+1}$ .
Tu prvu nerovnost dostavame tak, ze len vynasobime obe strany nerovnosti v indukcnom predpoklade (kladnym) vyrazom (n+1), ta druha nerovnost plati, pretoze $n^n \leq (n+1)^n$ .