Matematické Fórum

Chikitka-banánek · 21. 10. 2010 21:38

lim cos (2πn/3)
n->+∞

(π - pí)

Netuším, jak bych měla přijít na neexistenci.... sporem? Potřebovala bych tento cely dukaz.. Moc děkuji

Kondr · 21. 10. 2010 21:48

Nutná podmínka pro to, aby měla posloupnost limitu je, že pro dost malé epsilon (řekněme 0.1) od určité hranice všechny prvky posloupnosti patří do intervalu délky epsilon. Je vidět proč? A je zřejmé, jak vypadjí prvky zadané posloupnosti? Pokud ano, mělo by být snadné důkaz formalizovat a dokončit.

Chikitka-banánek · 21. 10. 2010 23:07

Děkuji... ale potřebuji dokazat že neexistuje... a to nwm jak

GudMen · 21. 10. 2010 23:24

Jinými slovy limita funkce se musí blížit nějaké hodnotě. Když si představíš funkci cosinus, jak utíká do nekonečna, tak zjistíš, že je to vlnění se stále stejnou amplitudou a tudíž se nikdy nepřiblíží žádné hodnotě, neustále běhá v intervalu (-1, 1). A to je právě ta pointa. ;)

petrkovar · 21. 10. 2010 23:25

↑ GudMen:Tady jsou na grafu funkce cos(x) vybrány jen některé body, protože n je přirozené číslo.

GudMen · 21. 10. 2010 23:44

↑ petrkovar: To nic ale nemění na podstatě dané funkce.

Pavel · 22. 10. 2010 07:44

↑ GudMen:

Tvůj argument je chybný. Totéž bych přece mohl říct i o funkci $g(x)=\cos(2\pi x)$ - i zde totiž platí, cituji "...je to vlnění se stále stejnou amplitudou a tudíž se nikdy nepřiblíží žádné hodnotě, neustále běhá v intervalu (-1, 1)." (ten interval by měl být mimochodem uzavřený)

a přesto $\lim_{n\to\infty,n\in\mathbb{N}}g(n)=1$ . A co třeba funkce $h(x)=\cos\left(2\pi\frac{x^2}{x+1}\right)$ ? Limita h(n) je opět 1. Případný argument, že u původní funkce "je to vidět", že limita neexistuje, neobstojí.

Marian · 22. 10. 2010 07:51 — Editoval Marian (22. 10. 2010 07:52)

↑ Pavel:↑ GudMen:

Trochu mi chybí rozlišení, jestli se bavíme ještě o limitě funkce nebo poslopupnosti. Pokud půjde o limitu posloupnosti {cos(x)}_n, potom je ovšem otevřený interval (-1,1) na místě; na druhou stranu není nic o argumentu dáno.

Zcela souhlasím ovšem s faktem, že argumenty typu "je to vidět" nemohou obstát.

Pavel · 22. 10. 2010 12:06 — Editoval Pavel (22. 10. 2010 12:07)

↑ Marian:

Ve svých příspěvcích hovoří ↑ GudMen: pouze a jen o funkci. Proto uvádím ten uzavřený interval. Svým příspěvkem jsem chtěl naznačit, že platí-li uvedená vlastnost pro funkci reálné proměnné x, pak stejná vlastnost nemusí obecně platit pro posloupnost hodnot funkce f v přirozených číslech. Tzn. neexistuje-li limita funkce f(x) v nekonečnu, pak to ještě nic nevypovídá o neexistenci limity poslouposti $a_n=f(n)$ , kde n je přirozené číslo. Proto argumentace vlastností funkcí může sloužit jen jako vodítko, ne však jako důkaz pro obdobné tvrzení pro posloupnosti. Proto uvádím i protipříklady.

Pavel · 22. 10. 2010 12:43 — Editoval Pavel (22. 10. 2010 12:47)

↑ Chikitka-banánek:

Abys dokázala neexistenci limity posloupnosti $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ , stačí se opřít o následující větu:

Má-li posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ limitu rovnou $A$ , pak každá vybraná posloupnost $\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ z posloupnosti $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ má limitu rovnou A.

Pokud tuto větu obrátíme, dostáváme tvrzení:

Existují-li dvě vybrané posloupnost $\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ , $\{a_{m_k}\}_{k=1}^\infty$ z posloupnosti $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ takové, že obě mají navzájem různé limity, pak limita posloupnosti $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ neexistuje.

Ve Tvém případě stačí najít v posloupnosti $a_n=\cos\left(\frac23\pi n\right)$ dvě vybrané posloupnosti s různými limitami.

1. Vyberme z této posloupnosti ty členy, jejíž index je dělitelný 3, tj $a_3,\,a_6,\,a_9,\,\ldots$ . Pak

$\lim_{n\to\infty}a_{3n}=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac23\pi\cdot 3n\right)=\lim_{n\to\infty}\cos(2\pi n)=1.$

2. Nyní vyberme z této posloupnosti ty členy, jejíž index dává po dělení 3 zbytek 1, tj $a_1,\,a_4,\,a_7,\,\ldots$ . Pak

$\lim_{n\to\infty}a_{3n+1}=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac23\pi\cdot (3n+1)\right)=\lim_{n\to\infty}\cos\left(2\pi n+\frac 23\pi\right)=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac 23\pi\right)=-\frac 12\,.$

$\lim_{n\to\infty}a_n$ tedy neexistuje.

Náročnější by bylo dokázat např. to, že $\lim_{n\to\infty}\sin n$ neexistuje. Na to je však potřeba použít hlubší poznatky.

GudMen · 22. 10. 2010 21:10

↑ Pavel:

Nejprve bych rád podotkl, že jsem se nesnažil o přímý důkaz, jen jsem chtěl ukázat cestu. Ovšem jsem nějak opomněl rozlišovat mezi funkcemi a posloupnostmi potažmo číselnými obory a netrklo mě to ani poté, co na to upozornil ↑ petrkovar:.

Tímto i já děkuji za objasnění. ;)

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2010 21:38

Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#2 21. 10. 2010 21:48

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#3 21. 10. 2010 23:07

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#4 21. 10. 2010 23:24

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#5 21. 10. 2010 23:25

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#6 21. 10. 2010 23:44

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#7 22. 10. 2010 07:44

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#8 22. 10. 2010 07:51 — Editoval Marian (22. 10. 2010 07:52)

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#9 22. 10. 2010 12:06 — Editoval Pavel (22. 10. 2010 12:07)

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#10 22. 10. 2010 12:43 — Editoval Pavel (22. 10. 2010 12:47)

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

#11 22. 10. 2010 21:10

Re: Limita - jak dokázat, neexistenci této limity???

Zápatí