Matematické Fórum

karmy · 24. 10. 2010 16:01

Nezkontroloval by mi prosím někdo 4 příklady z geometrické posloupnosti? Díky moc..

1. Jak velký je pátý člen geometrické posloupnosti ve které platí: $a_1 + a_4 = 56$ a $a_2 + a_3 = 24$ ?

$a_1 + a_1*q^3 =56$
$a_1*q + a_1*q^2$

pak jsem si vyjádřil $a_1 = 56 / (1+q^2)$

z toho se dostal k rovnici $3q^3 - 7q^2 - 7q + 3 = 0$ , ta je reciproká a lichý max. exponent, tedy $q_1 = -1$

$(3q^3 - 7q^2 - 7q + 3) / (q+1) = 3q^2 - 10q + 3$

přes diskriminant mi vyšly kořeny $q_2 = 3$ a $q_3 = 1/3$ a ty jsem dosadil do $a_1 = 56 / (1+q^2)$

$a_1 = 0$ (nesmí být)
$a_1 = 2$
$a_1 = 54$

to opět dosazeno do $a_5 = a_1 * q^4$ vychází $a_5 = 162$ a $a_5 = 2/3$

2. V geometrické posloupnosti je dáno: $a_1=7$ , $a_n = 567$ , $s_n = 847$ , určete q a n

$a_n = a_1 * q^(n-1)$ po dosazení a výpočtu $81q = q^n$

$s_n = a_1 * ((q^n - 1)/(q - 1)$ po dosazení a výpočtu $q = 3$

$a_n = a_1 * q^(n-1)$ po dosazení a výpočtu $n = 5$

3. Automobil ztrácí opotřebením každý rok 14% ze své ceny, za jakou dobu klesne jeho cena na polovinu?

$2V_o = V_n$

$2V_n = V_n * (1 + 0,14)^n$
$log2 = n * log1,14$
$n = log2 / log1,14 = 5,29$
Jeho cena klesne na polovinu za 5,29 roku

4. Kuřák prokouří ročně 4800 Kč. Kolik by uspořil za 10 let, kdyby tuto částku ukládal koncem každého roku na účet při 3% roční úrokové míry?

$I_n = I_0 * (r* ((r^n - 1) / (r - 1))$ kde $r = (1+ 3/100)$

$I_n = 53 899,78$

(ale tímhle posledním si vůbec nejsem jistej jestli je to správnej vzorec..)

Díky moc ;)

zdenek1 · 24. 10. 2010 16:18

↑ karmy:

3) je špatně

$\frac{V_0}2=V_0(1-0,14)^n$

gadgetka · 24. 10. 2010 16:20

Ke kvadratické rovnici se můžeš dostat i takto:
$a_1 + a_1*q^3 =56\nla_1*q + a_1*q^2=24$

$a_1(1+q^3)=56\nla_1q(1+q)=24$

$a_1(1+q)(1-q+q^2)=56\nla_1(1+q)\cdot q=24$

$\frac{24}{q}\cdot (1-q+q^2)=56\nl24-24q+24q^2=56q|:8\nl3q^2-10q+3=0$

Jinak máš řešení 1) správné.