Matematické Fórum

hanca · 21. 10. 2010 16:55

Ahoj, mam tu takovy krasny integral, vim i kolik to ma vyjit, ale jak se k tomu vysledku dostat? Kdyby tu na to nekdo prisel, byla bych mu vdecna :-)

Rumburak · 21. 10. 2010 17:04

První, co mne napadá, je uprava podle vzorce exp(A)*exp(B) = exp(A+B) a pak to vhodnou lineární substitucí převést na Laplaceův integrál.

hanca · 21. 10. 2010 17:15

jj to me taky napadlo, po uprave mi vychazi tohle:

ale ted me nenapada jak to na ten Laplaceuv integral prepsat :-/

hanca · 21. 10. 2010 17:56

tak jsem se dostala k tomu, ze ten intergral z toho meho upraveneho vyrazu ma vyjit tohle:

ale opet, jak se k tomu vysledku dobrat? :-D

pak kdyz to vynasobime s tema konstantama pred integralem z meho druheho prispevku, tak opravdu vyjde ten vysledek, co ma z toho sileneho integralu vyjit :-)

Rumburak

Nepochopil jsem , co je potřeba ještě dořešit, když všechno vyšlo, jak mělo . :-)

Polynom g(y) v exponentu se upraví do tvaru $-(ay \,+\, b)^2 \,+\, c$ , $a \ne 0$ , tím dostaneme
$\exp $-(ay \,+\, b)^2 \,+\, c$ \, =\,\exp $-(ay \,+\, b)^2$\, \exp \,c$ , konstantu $\exp \,c$ vytkneme před integrál, který pak
převedeme substitucí ay + b = u na Laplaceův, jehož metoda výpočtu je celkem známá.

Kdyžtak upřesni, co ještě není jasné.

hanca · 22. 10. 2010 11:31 — Editoval hanca (22. 10. 2010 11:40)

no ja nemuzu prijit na to, jak na tenhle integral (tento mi vysel uz po upraveni zavorky na druhou a vytknuti toho exp na konstantu pred integral) mam aplikovat tu substituci, aby mi vysel vpravo ten vysledek.

http://www.sdilej.eu/pics/a062e4ad248d0 … 5da976.jpg

edit: a jeste vidim docela problem v tech mezich. s nekonecnem se v substituci spatne prepocitavaji ty meze, ne? :-/

Rumburak

Kostanty a, b volíme tak, aby a > 0 . Potom
$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp $-(ay \,+\, b)^2$\,\text{d} y \,=\, \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp $-(ay \,+\, b)^2$\,\text{d} (ay + b) \,=\, \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp $-u^2$\,\text{d} u$ ,
napsal jsem to tak, aby byla zřejmá ta substituce $ay \,+\, b \,=\,u$ . Když je a > 0, meze zůstanou zachovány (v případě a < 0 by se
"přehodily").

Tzv. Laplaceův integrál $L\, := \,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp (-u^2)\,\text{d} u$ se vypočte takto:

$L^2 = \,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp (-x^2)\,\text{d} x \,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp (-y^2)\,\text{d} y\,=\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\,\exp $-(x^2+y^2)$\,\text{d} x\,\text{d} y\,=\,\int\int_{\mathb{R}^2}\,\exp $-(x^2+y^2)$\,\text{d} x\,\text{d} y$ .

Na dvojný integrál vpravo použijeme substituci do polárních souřadnic $x = r\,\cos\,t$ , $y = r\,\sin\,t$ , nová integrační množina M bude dána
omezeními $r\, \in\,(0, \,+\infty)$ , $t\, \in\,(0, \,2\pi)$ .

Věta o substituci pro dvojný integrál a následně Fubiniova věta dávají

$L^2 = \,\int\int_M\,\exp (-r^2)\,r \, \text{d} r\,\text{d} t \,=\,\int_0^{2\pi} \,\text{d} t \,\int_0^{+\infty}\,\exp (-r^2)\,r \, \text{d} r$ .

První z obou jednorozměrných inegrálů tvořících součin vpravo je triviální a je roven $2\pi$ , ten druhý se snadno vypočítá pomocí substituce
$r^2 = s$ a je roven $\frac{1}{2}$ . Celkem $L^2 = \pi$ , $L =\sqrt{\pi}$ , neboť od začátku je zřejmé, že L > 0.

hanca · 22. 10. 2010 15:02

nevim, asi jsem nejaka divna, ale chapu upravy v tom tvem obecnem vypoctu, ale nevidim, jak bych to aplikovala na muj konkretni priklad. Nemohl bys to aplikovat primo na ten muj integral a dobrat se toho vysledku a dat mi sem vsechny ty kroky vypoctu? Ocividne vis presne, jak to tam napasovat na ten muj konkretni integral. Ja nejak nemuzu prijit na to, jak to upravit, abych tam ty vzorce nacpala :-(

Rumburak · 22. 10. 2010 16:59

Jediné, co je potřeba udělat, je porovnat ten "Tvůj" výraz , co se nachází v exponentu, s výrazem

(1) $-(ay \,+\, b)^2 \,+\, c$ ,

a určit konstanty a, b, c (a za ně pak zpětně dosadit do výsledku). Znamená to

1) ve výraze (1) umocnit a upravit do tvaru $-a^2y^2 \,-\,2aby\,-\, b^2 \,+\, c$ ,

2) ten "Tvůj" výraz vyjádřit ve tvaru $Py^2 + Qy + R$ , kde konkretně bude $P = -\frac {1}{4kt}$ , $R = 0$ , Q už si dopočítej sama.

Platí věta, že dva polynomy jsou si rovny, pakliže členové týchž stupňů mají tytéž koeficienty .
V našem případě to znamená, že $-a^2 =P$ , $-2ab = Q$ , $-b^2+c = R$ , což je soustava rovnic pro 1. ročník gymnasia, kterou jistě zvládneš.
Ty výrazy P a zejména Q nevypadají moc vábně, to uznávám. :-)

Mně zase není jasné, jak Ti to mohlo vyjít správně, když, jak píšeš, tomu nerozumíš (?)

hanca · 22. 10. 2010 17:39 — Editoval hanca (24. 10. 2010 20:12)

Ten vysledek mi byl zadan, ja jsem se k nemu nedopocitala, proto nevim, jak se k nemu dostat. Byl mi proste zadan integral a dali nam vysledek, abychom vedeli, kolik to ma vyjit a mame zjistit ten postup. Kdybych mela cely postup az k vysledku, tak bych to sem nedavala ;-)

edit: tak uz jsem si spocetla a,b i c... ale po dlouhem pocitani se stejne nemuzu dobrat toho daneho vysledku :-D s takovyma hnusnyma cislama se k tomu nejspis nikdy nedopocitam :-D

edit: nakonec jsem pouzila jako substituci integral z Gaussovy funkce. tady a myslim, ze je s tim mene prace, nez pouziti toho Laplaceova integralu.

Rumburak

Ano, ta Gaussova funkce je specialita, která je "ušita na míru" podobným problémům, a kdo ji zná, může ji s úspěchem využít, počítání je
do značné míry nahrazeno dosazením do vzorce. Já si obecný tvar GF ovšem nepamatuji (nejsem specialistou v teorii pravděpodobnosti)
a proto dávám přednost jednodušším a snadněji zapamatovatelným prostředkům, i když možná pracnějším - je to otázka osobního založení.
Tak hlavně, že se to nakonec podařilo.

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2010 16:55

Vypocet tezkeho integralu

#2 21. 10. 2010 17:04

Re: Vypocet tezkeho integralu

#3 21. 10. 2010 17:15

Re: Vypocet tezkeho integralu

#4 21. 10. 2010 17:56

Re: Vypocet tezkeho integralu

#5 22. 10. 2010 10:54 — Editoval Rumburak (22. 10. 2010 10:57)

Re: Vypocet tezkeho integralu

#6 22. 10. 2010 11:31 — Editoval hanca (22. 10. 2010 11:40)

Re: Vypocet tezkeho integralu

#7 22. 10. 2010 14:36 — Editoval Rumburak (22. 10. 2010 14:53)

Re: Vypocet tezkeho integralu

#8 22. 10. 2010 15:02

Re: Vypocet tezkeho integralu

#9 22. 10. 2010 16:59

Re: Vypocet tezkeho integralu

#10 22. 10. 2010 17:39 — Editoval hanca (24. 10. 2010 20:12)

Re: Vypocet tezkeho integralu

#11 25. 10. 2010 10:40 — Editoval Rumburak (25. 10. 2010 13:35)

Re: Vypocet tezkeho integralu

Zápatí