Matematické Fórum

dog.big · 25. 10. 2010 09:00

Zdravím,
mám problém s limitou s mocninou, prosím o radu v podobě "postupu pro blbce", děkuji :). PS: berte můj postup s rezervou, bohužel mám moc chytrého přednášejícího a tak jeho výklad nechápu a matematiku se snažím studovat sám. Díky.

Zadání:

Můj postup (špatně):

Má vyjít:

Díky moc
S pozdravem
Charvát alias dog.big

jelena · 25. 10. 2010 09:34

↑ dog.big:

Zdravím,

úpravy tohoto typu zadání na pozoruhodnou limitu předvádím zde (a v návazných odkazech).

V přehledu odkazů je odkaz na rychlokurz od milého kolegy, který se drží jiného postupu.

Jinak bych nedoporučovala ignorovat výklad vyučujícího, nemusí se to vyplatit - lépe využit konzultační hodiny k vysvětlení obtižných částí.

Případně se ozví, zda pomohlo.

dog.big · 25. 10. 2010 10:18

↑ jelena:

Dle Tvého postupu jsem došel k výsledku:

Je postup správný?

Díky :)

dog.big

Rumburak

↑ dog.big:
Zdá se, že jsi postup pochopil, ale ve všech třech připadech máš zcela chybně pojatou formální stránku zápisu.
Matematický zápis L=P má jistý PŘESNÝ VÝZNAM, a sice, že L a P jsou dva matematické objekty (stejného druhu), které jsou si rovny.
Například $\lim$ není totéž, co $f(x)$ a proto NEMŮŽEME napsat "lim = f(x)".

Z podobných (i když méně "hrubých") důvodů NEMŮŽEME psát $$1+\frac{1}{x}$^x = \text{e}$ , když tím myslíme známou limitu.
Nechceme-li vypisovat příslušný vzorec podrobně, měli bychom napsat aspoň $$1+\frac{1}{x}$^x \to \text{e}$ , pokud je z kontextu jasné,
že x "roste nade všechny meze".

Na takovéto chyby bys u zkoušky rychle dojel.

EDIT. Tomu, co jsem výše napsal, se jeden případ případ poněkud vymyká, a sice rovnice . V tom případě zápos f(X) = g(X) není chybou
ani v případech, kdy funkce f, g se nerovnají (X nemusí být čislo). Rovnice ovšem neznamaná výrok jako v případech probíraných výše,
ale VÝROKOVOU FORMU - podívej se na to když tak do nějakého úvodu do predikátové logiky.

dog.big · 25. 10. 2010 11:54

↑ Rumburak:
Je tedy tento upravený zápis již dobře? Pokud ne, prosím o upřesnění chyb, díky :).
¨

S pozdravem
Charvát alias dog.big

Rumburak

↑ dog.big:

Začnu tím druhým postupem. Vztah

(1) $f(x) \to b$

(pokud je použit jinde než v symbolu $\lim_{f(x) \to b}$ ) je méně formálním a spíše jen schematickým zápisem vztahu

(2) $\lim_{x\to a} f(x) = b$ .

Vidíme, že na levé straně zápisu (2) a analogicky i zápisu (1) se vyskytuje proměnná x (probíhající definiční obor finkce f), podle níž se
limita hledá, zatímco na pravé straně, tj. ve výrazu vzniklém jako výsledek hledání limity, se už tato proměnná x vyskytovat nesmí.

Zápis (1) je oproti zápisu (2) neúplný, neboť v něm chybí informace o tom, podle které proměnné (je-li jich více) se limita hledá a k čemu se
blíží hodnota oné proměnné. Proto tvar (1) v podrobných zápisech výpočtů limit nepoužíváme, neb by mohl být zavádějící. Zápis (1) lze
nanejvýše použít (jako schema) do volného textu, kam též doplníme ony chybějící informace.

Z obou těchto hledisek je druhý postup stále ještě nesprávný. Asi bych to napsal následovně:

(A) "Jestliže $a \to +\infty$ , $b \to +\infty$ a zároveň $\frac {b}{a} \to c$ , potom $$1+\frac{1}{a}$^b = $\(1+\frac{1}{a}$^a\)^{\frac{b}{a}}\to \text{e}^{\,c}$ ".

Ten první postup je sice už lepší než prve, ale pár "chlupů" bych tam ještě viděl.
1) Hned na začátku (zřejmě zapomenuté) rovnítko bezprostředně za znakem limity.
2) Použití znaku $\to$ ve výpočtu .
3) Ten přechod k "e^(...)" se mi také příliš nelíbí - není zřejmé, odkud se tam to "e" najednou vzalo. Postupoval bych raději třeba takto:

$\lim_{x\to\infty}$1\,+\,\frac{1}{\frac{2x+2}{3}}$^{x+3}\,=\,\lim_{x\to\infty}\[$1\,+\,\frac{1}{\frac{2x+2}{3}}$^{\frac{2x+2}{3}}\]^{\frac{3(x+3)}{2(x+1)}}\,=...$

odkud je to jasnější.

dog.big

Dobrá,
k bodu 3) jsem použil vzoreček, i když ano souhlasím, mohl jsem to rozepsat. Jinak děkuji :).

Dále jsem provedl korekci těch chyb:

dog.big

Rumburak

↑ dog.big:
Ještě pár poznámek.

Snad mne budeš považovat za formalistu :-) , ale takovým formalistou může být i ten, kdo Tě bude zkoušet (jsi-li student).
Vidím, že jsi předchozí zápis "opravil" nahrazením znaku $\to$ ("blíží se") znakem $\Rightarrow$ ("z toho vyplývá") .

Skutečně jsi chtěl říci

" $$1+\frac{1}{a}$^b = $\(1+\frac{1}{a}$^a\)^{\frac{b}{a}}$ , z toho vvplývá $\text{e}^{\,\frac{b}{a}}$ " ?

To $\text{e}^{\,\frac{b}{a}}$ je symbol pro jakési číslo a NENÍ TO VÝROK, aby mohl fungovat jako závěr implikace.

V předchozím výpočtu sice na levé i na pravé straně implikace už jsou výroky, takže po formální stránce je to v pořádku,
o jistých funkcích f, g touto implikací tvrdíš

"Jesstliže $\lim_{x\to \infty} f(x) = \lim_{x\to \infty} f(x)$ , potom $\exp $\lim_{x\to \infty} g(x)$ = \exp $\frac{3}{2}$$ . "

Bylo to skutečně míněno takto ? Cílem úlohy bylo vypočítat $\lim_{x\to \infty} f(x)$ , avšak tvrzení, že TATO LIMITA je rovna $\exp $\frac{3}{2}$$ ,
tu chybí.

Ještě drobná vysvětlivka k tomu bodu 3.
Jasně, tys použil ono tvrzení (A) , které jsme probrali v mém příspěvku ↑ Rumburak:
Ten alternativní postup $\lim_{x\to\infty}$1\,+\,\frac{1}{\frac{2x+2}{3}}$^{x+3}\,=\,\lim_{x\to\infty}\[$1\,+\,\frac{1}{\frac{2x+2}{3}}$^{\frac{2x+2}{3}}\]^{\frac{3(x+3)}{2(x+1)}}\,=...$
se neopírá o tvrzení (A), ale vychází přímo z obecné věty o limitě složené funkce, což je jakási "přímější" cesta.