Matematické Fórum

suky2 · 30. 10. 2010 22:55

Ahoj,

sedím u důkazu indukcí již třetím dnem a tuším, že jsem už těsně před koncem. Problém je, že nedokážu upravit následující vzorec:

$\sum_{k=0}^{n+1}%20\begin{pmatrix}n\nlk-1\end{pmatrix}2^k$

Potřebuju úpravou získat:

$\sum_{k=0}^{n+1}%20\begin{pmatrix}n\nlk-1\end{pmatrix}2^k=2\cdot%203^n$

Předpokladem je, že platí:

$\sum_{k=0}^{n}%20\begin{pmatrix}n\nlk\end{pmatrix}2^k%20=%203^n$

Je nutné upravit tu první sumu tak, aby vzniklý vzorec šel nahradit vzorcem z předpokladu. Netuším ale, jakým způsobem vzorec upravit.

Prosím vás tedy o radu.

Oxyd · 30. 10. 2010 23:47

Máme $\sum_{k=0}^n {n \choose k} 2^k = 3^n$ -- šoupnu indexy u sumy, aby se počítalo od 1 do n + 1 -- ve vnitřku jedničku zase odečtu, aby se to pořád rovnalo

$\sum_{k=1}^{n+1} {n \choose {k - 1}} 2^{k - 1} = 3^n$

Obě strany přenásobím dvojkou

$2\sum_{k=1}^{n + 1} {n \choose {k - 1}} 2^{k - 1} = \sum_{k=1}^{n + 1} {n \choose {k - 1}} 2^k = 2 \cdot 3^n$

K levé straně přičtu nulu $0 = {n \choose {-1}} 2^0$

$\sum_{k=0}^{n + 1} {n \choose {k - 1}} 2^k = 2 \cdot 3^n$

A mám hotovo.

suky2 · 31. 10. 2010 10:35

↑ Oxyd:
Díky moc, přesně to jsem potřeboval. Nikdy jsem se sumami nepracoval a proto tyhle triky neznám. Zní to ale všechno logicky. Ještě jednou díky.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2010 22:55

Úprava sumy s binomiálním koeficientem

#2 30. 10. 2010 23:47

Re: Úprava sumy s binomiálním koeficientem

#3 31. 10. 2010 10:35

Re: Úprava sumy s binomiálním koeficientem

Zápatí