Matematické Fórum

Ginco · 13. 04. 2008 18:09

Ahoj, potřeboval bych pomoc; zítra píšem písemnou maturitní práci z matiky, a jedna z úloh je soustava exponenciálních rovnic.
Taková podobná tam bude, ale já si nevím celkem rady, proto prosim potřebuji pomoci, buďto s nasměrováním nebo jinou možností postupu...dík

$2.2^{x-y}+ 2^{x+y-1}=20$
$10.2^{x+y-1}+ 2^{x+y}=-22$
------------------------------------------------
$\frac{2.2^x}{2^y}+ \frac{2^x.2^y}{2}=20$
$4.2^x.2^y=-22$
-----------------------------------------------
substituce: $2^x = a$ a $2^y = b$

$4a+ab^2=40b$
$4ab = -22$
-----------------------------------------------
$a(4+b^2)=(40b) => a=\frac{40b}{4+b^2}$
$4ab = -22$
----------------------------------------------
$4(\frac{40b}{4+b^2})b=-22$

$160b^2=-88-22b^2$

$b^2=-\frac{88}{160}$ ??? což nevychází

Alesak · 13. 04. 2008 18:19

rek bych ze mas chybu ve 4. radku, misto 4 tam ma bejt 6

Ginco · 13. 04. 2008 18:36 — Editoval Ginco (13. 04. 2008 19:58)

↑ Ginco:

dobře, ale i když tam bude 6ka, tak co?

Ivana · 13. 04. 2008 19:45

↑ Ginco:Zdravím , tak jestli tě to trochu uklidní , došla jsem ke stejnému výsledku s tím , že tam bude ve čtvrtém řádku ta 6tka , což je už uvedeno Alesakem výše . Máš nějaký výsledek v učebnici a máš správně zadání ? :-(

Ginco · 13. 04. 2008 19:57 — Editoval Ginco (13. 04. 2008 20:27)

↑ Ivana:

jo, tak to teda nemam, mně ani nejde o správnost řešení, spíše o postup, který budu muset zítra uplatnit.

jelena · 13. 04. 2008 23:55

↑ Ginco:

Zdravim :-) mozna chyba v zadani nebo je to zamer - druha rovnice zadani: nalevo vsechno kladne, napravo -22 . Tady by se dalo ukoncit a prohlasit, ze soustava nema reseni.

Jinak ten postup - uprava a substituce se zda byt v poradku.

Marian · 14. 04. 2008 10:05

↑ Ginco:

Neni mi celkem jasne, jestli jsi pouzil desetinnou tecku nebo desetinnou carku v zapisu tvych rovnic. Pouzivej, prosim, pro operator nasobeni v TeXu prikazu "\cdot", ktery byl k tomuto primarne zaveden. Patrne jde ale o nasobeni. Jinak by uloha byla narocna na reseni.

Ginco · 14. 04. 2008 16:04 — Editoval Ginco (14. 04. 2008 16:05)

Ok, dík
$2\cdot2^{x-y}+ 2^{x+y-1}=20$
$10\cdot2^{x+y-1}+ 2^{x+y}=-22$

tento příklad jsem dnes počítal, a bylo tam akorát místo $10\cdot2^{x+y-1}+ 2^{x+y}=-22$ toto $10\cdot2^{x-y-1}+ 2^{x+y}=-22$

kde x = 3 a y= 2

jelena · 14. 04. 2008 16:53

↑ Ginco:

Zdravim :-) fakt s tou -22 napravo? Muzes se podivat jeste jednou na zadani? Dekuji :-)

Ginco · 14. 04. 2008 17:00 — Editoval Ginco (14. 04. 2008 17:01)

↑ jelena:

jo jasně:
$2\cdot2^{x-y}+ 2^{x+y-1}=20$
$10\cdot2^{x-y-1}+ 2^{x+y}=-22$
-------------------------
$\frac{2\cdot2^{x}}{2^{y}}+ \frac{2^{x}\cdot2^{y}}{2}=20$
$\frac{10\cdot2^{x}}{2^{y}\cdot2}+ 2^{x}\cdot2^{y}=-22$

obě vynásobím ${2^{y}\cdot2$

a substituce: ${2^{x}=a$ a ${2^{y}=b$

$4a+ab^2=40\cdot b$
$10a+2ab^2=-44\cdot b$

jelena · 14. 04. 2008 18:00

↑ Ginco:

Dekuji, pokud zadani bylo takove, jak uvadis, tak pak je jeste lepsi substituce 2^(x-y) = a, 2^(x+y) = b.

Ale muj dotaz se tyka te (-22) napravo ve 2. rovnici. Dosli jste k vysledku?

Ginco · 14. 04. 2008 18:07 — Editoval Ginco (14. 04. 2008 18:26)

$4a+ab^2=40\cdot b$
$10a+2ab^2=-44\cdot b$
-----------------------------------------
$a(4+b^2)=40\cdot b$
$10a+2ab^2=-44\cdot b$
-----------------------------------------
$a=\frac{40\cdot b}{(4+b^2)}$
$10a+2ab^2=-44\cdot b$
---------------------------------------------
$10(\frac{40\cdot b}{4+b^2})+2(\frac{40\cdot b}{4+b^2})b^2=-44\cdot b$

$400b+80b^2=-176b-44b^3$
$400b+80b^2=-176b-44b^3$

ted jsem zjistil, že to bylo takto : $4a+ab^2=40\cdot b$
$10a-2ab^2=-44\cdot b$

to znamená, že ve druhé rovnici má být mínus na levé straně, tedy....
$400b-80b^3=-176b-44b^3$
$-36b^3+576b=0$
$b^2-16b=0$
$b(b^2-16)=0$

$b_1=0$
$b_2=-4$
$b_3=4$

vyhovuje jen b_3, tedy $2^y = 2^2$
$y=2$

poté dále vypočítáme $x=3$

Zkouška:L_1=2*2 + 2^4= 20
P_1= 20
L_1=P_1

L_2= 10-32 = -22
P_2 = -22
L_2=P_2

Platí tedy pro všechna K=[3,2]

edit: Tento příklad byl jeden z 6 v dnešní písemné maturitní práci z matematiky...

jelena · 14. 04. 2008 18:33

↑ Ginco:

:-) Normal heroes always go around

$2^{(x-y)}=a$

$2^{(x+y)}=b$

$2\cdot2^{x-y}+ 2^{x+y-1}=20$
$10\cdot2^{x-y-1}- 2^{x+y}=-22$

$2a+ \frac{b}{2}=20$
$\frac{10a}{2}- b=-22$

$4a+ b=40$
$5a-b=-22$

$9a=18$

$a=2$

$b=32$