Matematické Fórum

hants · 31. 10. 2010 18:43

Ahojik, prosím o radu u 3 příkladů, máme před zápočtovou písemkou, ale tyhle 3 příklady mi dělají problémy.

1)Na hmotný bod m působil impuls síly I, který vyvolal změnu rychlosti z v1 na v2. Dokažte, že změna kinetické energie je rovna 1/2I*(v1+v2).

2)Hustoměr v podobě válcové trubky průměru d o hmotnosti m plave v kapalině hustoty ρ. Dáme mu malý vertikální impuls a rozkmitáme ho tak. Určete periodu kmitů hustoměru.

3)Lano délky l(s indexm 0) leží nataženo na hladké desce stolu. V okamžiku t=0 visí úsek lana délky l přes okraj desky a rychlost lana je nulová.V tomto okamžiku začne lano z desky sklouzávat.Určete, jak poroste jeho rychlost s časem a jak se bude měnit poloha konce lana.

Děkuju za pomoc....

zdenek1 · 31. 10. 2010 18:58

↑ hants:
1.
$\vec{I}=m(\vec{v_2}-\vec{v_1})$
$\Delta E_k=\frac12m(v_2^2-v_1^2)=\frac12m(\vec{v_2}-\vec{v_1})(\vec{v_2}+\vec{v_1})$

zdenek1 · 31. 10. 2010 19:09

↑ hants:
2) Ponoříme-li hustoměr o délku $x$ , zvětší se objem ponořené části o $V=Sx$ a tím pádem se objeví dodatečná vztlaková síla $F=V\varrho g=Sx\varrho g$ , která vrací hustoměr do rovnovážné polohy. Protože je tato síla úměrná výchylce $x$ a opačně orientovaná než výchylka, způsobí harmonický pohyb (zanedbáváme tření)
Pro harmonický pohyb platí $\omega=\sqrt{\frac km}$ , kde $k$ je konstanta úměrnosti v rovnici síly- v našem případě $k=S\varrho g$

zdenek1 · 01. 11. 2010 16:51

↑ hants:
3)
pohybová rovnice

$m\ddot{x}=\frac{m}{l_0}gx$ , kde $x(t)$ vyjadřuje délku lanka visícího přes hranu stolu.
$\ddot{x}=\frac{g}{l_0}x$
rovnici upravíme
$\ddot{x}\dot{x}=\frac{g}{l_0}x\dot{x}$ a využijeme identity $\frac12\frac{d(\dot{x}^2)}{dt}=\ddot{x}\dot{x}$ (derivace složené funkce)
$\frac{d(\dot{x}^2)}{dt}=\frac{2g}{l_0}x\frac{dx}{dt}$
integrací dostaneme
$\dot{x}^2=\int\frac{2g}{l_0}xdx=\frac g{l_0}x^2+C$

z počátečních podmínek $0=\frac g{l_0}l^2+C\ \Rightarrow\ C=-\frac g{l_0}l^2$
takže $\dot{x}=\sqrt{\frac g{l_0}(x^2-l^2)}$ (1)

další integrace
$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac g{l_0}(x^2-l^2)}$
$\int\frac{dx}{\sqrt {x^2-l^2}}=\sqrt{\frac g{l_0}}\int dt$

řešením dostaneš $x(t)$ a když to dosadíš do (1) máš odpověď na obě otázky.