Matematické Fórum

Nich · 30. 10. 2010 10:51 — Editoval Nich (30. 10. 2010 10:51)

Nechť $A = Z, R = \{(x, y)|x, y \in Z; 5|x-y\}.$
Dokažte, že R je kongruencí na $(A,+,\cdot)$

Nevíte prosím někdo jak tohle řešit?

Fauſt · 31. 10. 2010 01:11

(používám standardní zkratku $xRy \equiv (x,y)\in R$ )
R je kongruence vzhledem k operaci + pokud platí:
$\forall a,b,x,y\in \mathbb{Z}\ xRy\ &\ aRb \Rightarrow (x+a) R (y+b)$
To znamená, že chceš ukázat:
$5|(x-y) \ &\ 5|(a-b) \overset{?}{\Rightarrow} 5|((x+a)-(y+b))$
úpravou: $(x+a)-(y+b) = (x-y) + (a-b)$
Součet čísel dělitelných 5 bude také jistě dělitelný 5.

Podobně se to udělá i pro operaci násobení (tam už bude potřeba využít celočíselnosti).

Majkl9102 · 31. 10. 2010 17:25

To Fauſt: A dokázal bys sestrojit faktorovou algebru A/R?

Fauſt · 31. 10. 2010 20:01

$A/R = (\mathbb{Z}_5,\oplus,\odot)\nl \mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}\nl x\oplus y = (x+y)_{\mbox{mod} 5}\nl x\odot y = (x\cdot y)_{\mbox{mod} 5}$
Takhle to bude fungovat si myslím.

Nich · 01. 11. 2010 02:11

Moc dík za nakopnutí a za důkaz pro sčítání. Zkusil jsem teda to násobeni:

$\forall a, b, x ,y \in Z xRy \wedge aRb => (x\cdot a)R(y\cdot b)$
Dle věty o dělení se zbytkem: $x = 5k + r$
$x = 5k_1 + r_1$
$y = 5k_2 + r_2$
$a = 5n_1 + s_1$
$b = 5n_2 + s_2$

kde $k, r, n, s \in Z$

$x\cdot a = 25k_1n_1 + 5k_1s_1 + 5n_1r_1 + r_1s_1$
$y\cdot b = 25k_2n_2 + 5k_2s_2 + 5n_2r_1 + r_2s_2$
$x\cdot a - y\cdot b =$

Ale nějak si nevím rady co teď s tím. Nevíte někdo jak dál?

Kondr · 01. 11. 2010 02:22

↑ Nich: Z předpokladu 5|x-y je $r_1=r_2$ , z 5|a-b je $s_1=s_2$ a pak stačí výsledný rozdíl $xa-yb$ vyčíslit ...

Nich · 01. 11. 2010 07:37

Aha takže za pokud jsou zbytky stejné tak z rozdílu vznikne výraz:
$25k_1n_1+5k_1s_1+5n_1r_1-(25k_2n_2+5k_2s_2+5n_2r_1)$ (zbytky se odečetli)
tedy $5|x\cdot y-a\cdot b=>xyRab$

Je to správně?

Kondr · 01. 11. 2010 07:40

↑ Nich: Až na ten pravopis OK ;)

Nich · 01. 11. 2010 08:00

děkuji všem :-)

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2010 10:51 — Editoval Nich (30. 10. 2010 10:51)

Dokažte, že R je kongruencí

#2 31. 10. 2010 01:11

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#3 31. 10. 2010 17:25

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#4 31. 10. 2010 20:01

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#5 01. 11. 2010 02:11

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#6 01. 11. 2010 02:22

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#7 01. 11. 2010 07:37

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#8 01. 11. 2010 07:40

Re: Dokažte, že R je kongruencí

#9 01. 11. 2010 08:00

Re: Dokažte, že R je kongruencí

Zápatí