Matematické Fórum


❗1. 8. 2026 (L) Fórum bude brzy uzavřeno 😿

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 03. 11. 2010 17:21

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Konštrukcia trojuholníka

Dobrý deň. Dá sa zostrojiť trojuholník pomocou dvoch výšk a polomeru kružnice opísanej / vpísanej ?

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) BakyX)

#2 03. 11. 2010 19:17

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

Pomocí vepsané ano, pomocí opsané ne.

Vesmír má čas.

Offline

 

#3 03. 11. 2010 19:19

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

No pomocou tej vpísanej som už vyriešil. Pomocou opísanej by sa podľa mňa dalo výpočtom tretej výšky pomocou:

$\frac{1}{r}=\frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_b}+\frac{1}{v_c}$

Len či je to dosť "korektné" ?

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#4 03. 11. 2010 19:24 — Editoval Tychi (03. 11. 2010 19:26)

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

Záleží na tom, co se po tobě chce. Pokud to zkonstruovat pomocí kružítka a pravítka, tak výpočty povolené nemáš a tím pádem to nejde.
To by pak většina konstrukčních úloh končila tím, že bys vytáhl tabulku vzorců pro jednotlivé prvky v trojúhelníku, vyjádřil si pomocí tří daných prvků tři strany a pak sestrojil trojúhelník jako na prvním stupni ZŠ(o:

Vesmír má čas.

Offline

 

#5 03. 11. 2010 19:42 — Editoval Spybot (03. 11. 2010 19:44)

Spybot
Příspěvky: 740
Reputace:   39 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:
A toto je vzorec pre vypocet polomeru vpisanej kruznice.

↑ Tychi:
Mozem sa spytat, preco je to tak?

Per aspera ad astra. In æternum et ultra.

Užitečné vzorce  Užitečné odkazy  Konstrukční úlohy

Offline

 

#6 03. 11. 2010 19:43 — Editoval BakyX (03. 11. 2010 19:43)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

To áno...Ale vždy sa snažím riešiť úlohy najprv bez výpočtu. A keď to bez výpočtu nejde, tak nič no..Inak..Nepoznáš dôkaz o platnosti toho tvrdenia, za ktoré som ti poďakoval ?

Přímka spojující střed T_c strany c se středem kružnice vepsané S protíná výšku na stranu c ve vzdálenosti (poloměru kružnice vepsané) \rho od vrcholu C.

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#7 03. 11. 2010 19:46

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Spybot:Díky za tuto poznámku, já jsem na vzorec ani moc nekoukla, jsem zvyklá, že r je poloměr opsané, $\rho$ je poloměr vepsané.

Vesmír má čas.

Offline

 

#8 03. 11. 2010 19:54

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

No tak to som sa dobre domotal..Takto:

Pomocou pravítka a kružítka zostrojiť tento trojuholník s polomer kružnice vpísanej viem.

Zostrojiť však s polomerom kružnice opísanej neviem, ale budem nad tým rozmýšlať..

Ešte by som rád upozornil na úlohu - Zostroj rovnoramenný trojuholník ABC, AC=AB, ak poznáš a = 17 cm a p = 4,8 cm..Teda rameno a polomer kružnice vpísanej...Rieším, ale ešte som to nevyriešil.

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#9 03. 11. 2010 19:58 — Editoval Tychi (03. 11. 2010 20:11)

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:Z hlavy ho teď hned nedám, ale do zítřka by tu měl být, bude ti to stačit?

↑ BakyX:Nad tou opsanou opravdu nepřemýšlej, úloha není euklidovsky řešitelná.

↑ Spybot:Důkaz neznám, jen si to pamatuji z dob, kdy jsem psala gymnaziální ročníkovou práci na téma trojúhelník a dostala se mi do rukou kniha autorů Vanžury a Švrčka - Geometrie trojúhelníka (myslím). Tam byly úlohy rozdělené na řešitelné a neřešitelné. Možná, že je tam i důkaz..

Vesmír má čas.

Offline

 

#10 03. 11. 2010 20:09

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

Ako vieš, že nie je ? A pozrieš sa na ten rovnoramenný ?

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#11 03. 11. 2010 20:13

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:Pokusím se.

Vesmír má čas.

Offline

 

#12 03. 11. 2010 20:15

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:

Vieš to nejako dokázať ?

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#13 03. 11. 2010 20:16

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:Viz má odpověď Spybotovi.

Vesmír má čas.

Offline

 

#14 03. 11. 2010 20:20

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

Hm..Nemáš niejaký "link", kde je tá kniha spomínaná alebo niečo také..Určite by som ju chcel..A vďaka

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#15 03. 11. 2010 22:21 — Editoval Tychi (03. 11. 2010 22:25)

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX: ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha : Nakladatelství technické literatury, 1988.  (to jsem našla na wikipedii)
Tenkrát mi ji půjčil můj PAN profesor z kabinetní knihovny, zkus se zeptat toho svého.

K tomu důkazu tvrzení:

Přímka spojující střed $T_a$ strany $a$ se středem kružnice vepsané $S$ protíná výšku na stranu $a$ ve vzdálenosti $\rho$ od vrcholu A...(v bodě P)

Abych nemusela psát ty indexy, tak
$T$ bude $T_a$,
podobně $V$ bude $V_a$ (pata výšky na stranu $a$),
$D$ bude bod dotyku kružnice vepsané se stranou $a$
a ještě jsem si označila ten průsečík jako bod $P$.

Obrázek si prosím nakresli sám. A momentálně nevím, jak napsat velikost úsečky, tak si tam ty čárky prosím domýšlej.
$SD=\rho$ (což je snad jasné)
$TD=BD-BT=\frac12(a+b+c)-b-\frac a2$
(nejsem si jistá, jak moc známý je fakt, že $BD=\frac12(a+b+c)-b$, ale to už si snad nějak sám dokážeš)
úpravou dostáváme vztah pro velikost TD
$TD=\frac{c-b}{2}$

Pomocí věty pana Pythagora (v trojúhelnících BVA a VCA) ji vypočtu vzdálenost $VC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$.
Díky tomu můžu vypočítat $TV=\frac a2-\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}=\frac{c^2-b^2}{2a}$

Trojúhelníky $TDS$ a  $TVP$ jsou podobné, platí tedy $\frac{PV}{SD}=\frac{TV}{TD}$
Z toho vyjádřím $PV$ a dosadím za $TD$,$SD$ a $TV$
$PV=\rho\cdot\frac{c+b}{a}$

Ještě potřebuju znát délku výšky $v=v_a$, ta se dá zjistit z obsahu $S_t$ trojúhelníka ABC.
$S_t=\frac12 av$
$v=\frac{2S}{a}$
Obsah trojúhelníka $ABC$ lze vyjádřit jako součet obsahů troj. $ASB$, $CSA$, $BSC$ .. $S_t=\frac12(a+b+c)\rho$ (je to tak?)
Z toho $v=\rho\cdot\frac{(a+b+c)}{a}$

Teď už jen od výšky odečteme vypočítanou velikost PV a dostaneme $AP=v-PV=\rho\cdot\frac{a+b+c-b-c}{a}=\rho$. Q.E.D.

Omlouvám se za nepřehlednost, ale snad je to aspoň trochu pochopitelné a nejsou v tom chyby..došlo mi, že zítra bych to nestihla, tak jsem to sesmolila ještě teď, podle mých starých poznámek.

Vesmír má čas.

Offline

 

#16 03. 11. 2010 22:46

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

Super..Krása..Vďaka..
$BD=\frac12(a+b+c)-b$ nie je problém dokázať :)

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#17 04. 11. 2010 15:15 — Editoval Tychi (04. 11. 2010 15:16)

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ BakyX:

Zostroj rovnoramenný trojuholník ABC, AC=AB, ak poznáš a = 17 cm a p = 4,8 cm..Teda rameno a polomer kružnice vpísanej...Rieším, ale ešte som to nevyriešil.

V tomto případě mi to přijde snadné, ale možná mám značení jinak než ty. Strana a se nechází proti vrcholu A a není to tedy rameno, ale základna. Pak není problém narýsovat úsečku BC, najít její střed, v něm kolmici, na tu nanést poloměr vepsané, narýsovat vepsanou a pak z bodů B a C vést tečny k té kružnici a kde se protnou je bod A.

↑ BakyX:Bylo mi divné, proč si mi děkoval za tak starou konstrukci a navíc neřešnou pro tebe, ale už to chápu(o:

Vesmír má čas.

Offline

 

#18 04. 11. 2010 15:23 — Editoval BakyX (04. 11. 2010 15:30)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

Tu je náčrt:

http://img830.imageshack.us/img830/6677/trojuholnik.gif

Keby bola daná základňa, tak to problém nie je ako vravíš. A pre tieto údaje existuje ešte jeden takýto trojuholník..Dopočítať údaje viem, ale to nič nerieši.

A k tej knihe..Na našej ZŠ určite nemáme matematické knihy pre SŠ a VŠ :) ..Škoda

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#19 04. 11. 2010 17:06

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

Nojo, ty mě mateš, pořád v tématech SŠ, kdo si má pamatovat, že jsi na ZŠ?(o:
V zadání jsi psal, že AB=AC a=17, v náčrtu máš CA=CB=17..

Vesmír má čas.

Offline

 

#20 04. 11. 2010 17:14

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

Asi preklep..Ako vždy :) ..No hej..Matematike ZŠ sa venujem maximálne súťažnej..

Inak..Je trojuholník zostrojitelný, ak mám dané v rovine niejaké špecifické body..Napríklad Nagelov bod, stred kružnice deviatich bodov a stred kružnice vpísanej ?

Ono teoreticky nájdem stred kružnice opísanej, ale čo to pomôže. Nevieš, či sa takéto úlohy dajú nejako riešiť ?

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#21 04. 11. 2010 18:23

Tychi
Příspěvky: 2463
Škola: MFF UK
Reputace:   56 
Web
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

Nikdy jsem asi takovou úlohu neviděla a tedy ani neřešila, ale možná že by to šlo s využitím nějakých vlastností. Nějaké středy leží na Eulerově přímce v určitých vzdálenostech, ale které to jsou, teď z hlavy nedám.

Vesmír má čas.

Offline

 

#22 04. 11. 2010 18:33

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

↑ Tychi:

No vďaka tým vzdialenostiam nájdem asi každý podobný pod trojuholníka, lebo všetky na seba nadväzujú..Problém je, že neviem, ako to pomôže pri hľadaní bodov A, B, C.

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#23 08. 11. 2010 21:46 — Editoval BakyX (08. 11. 2010 21:46)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: Konštrukcia trojuholníka

O tej knihe je skutočne na každej stránke wikipedie. Pri akomkoľvek náznaku, že by sa ti ta kniha mohla dosať do ruky, napíš mi e-mail. V pohode by som ju kúpil pripadne zaplatil za preskenovanie. Ďakujem za odpoveď..Ponuka platí pre všetkých

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson