Matematické Fórum

mancini · 04. 11. 2010 15:37

Ahoj,

zasekl jsem se pekelně na následující limitě:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[m]{1+x} - \sqrt[n]{1+x}}x$

m, n je z N

At zkousim cokoli, nemuzu se zbavit toho x ve jmenovateli.

Vim, ze:

1) limita existuje
2) je zavisla na velikosti m,n
3) pokud m=n, je limita rovna 0

Nechci nezbytne videt cele reseni, ale byl bych vdecny za postrcenim spravnym smerem.

Diky

Rumburak

V nejhorším případě by určitě pomohl rozvoj těch odmocnin do binomických řad :
viz třeba zde, str. 5 vzorc (1) a dále.

Marian · 04. 11. 2010 15:59

↑ mancini: Limitu si pamatuji ještě ze studií na VŠ. Kromě ↑ Rumburak:ova návrhu bych doporučil postupovt elementárněji. Stačí uvážit, že platí

$\sqrt[m]{1+x}=\sqrt[m\cdot n]{(1+x)^n}\qquad\qquad\text{a}\qquad\qquad\sqrt[n]{1+x}=\sqrt[m\cdot n]{(1+x)^m}.$

Tím se převedou odmocniny různého řádu (lze již předpokládat, že m a n jsou různá čísla) na odmocniny stejného řádu. Nyní stačí vhodným způsobem rozšířit (řekl bych standardním) a po jistých úpravách vykrátit "x". Není potřebna binomické řady (to je nekonečná řada), pouze binomického rozvoje (míním konečný rozvoj). Výsledkem je racionální číslo.

mancini · 04. 11. 2010 16:35

↑ Rumburak:, ↑ Marian:: V prvni rade diky za odpovedi ... zkusim nejprve "elementarnejsi" postup ;-).

Rozsirovat jsem zkousel, ale to pak v citateli skoncim s nulou (ultimatne 1+x-1-x) a ve jmenovateli s bordelem, kterej se limitne blizi k dvema (krat to podelany x), anebo rozsirim jinak (nestandardne) a zustane mi bordel vsude :-)).

mancini · 05. 11. 2010 00:05

sakra, tak zjistuju, ze neumim nejak uspokojive rozsirit vyssi nez treti odmocniny ... natoz pak mn-te odmocniny :-(

... pls jeste trochu popostrcit

FailED · 05. 11. 2010 00:39 — Editoval FailED (05. 11. 2010 00:39)

$a-b=\frac{a^n-b^n}{\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i}$
$\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}=\frac{a-b}{\sum_{i=0}^{n-1}\sqrt[n]{a^{n-1-i}}\sqrt[n]{b^i}}$

Tohle je jasné?

mancini · 05. 11. 2010 08:06

↑ FailED:Tohle jasné je a něco na ten způsob jsem zkoušel už asi 20x (i když často ne úplně ekvivalentně, protože jsem neznal tenhle vzorec - za něj díky ;-)), ale tento přístup mi v čitateli nechá a-b (ale v tomto případě 1+x-1-x=0) a ve jmenovateli x krát ta suma (suma se limitně blíží k 1 krát x se blíží k 0) a jsem v řiti ... 0/0

Rumburak · 05. 11. 2010 11:48

Ze dvou navržených postupů je ten Marianův (↑ Marian:) méně náročný na stupeň teoretických znalostí, ale zase náročnější
po stránce početní. Zkusme ještě něco jiného.

Předpokládejme, že $m \ne n$ (případ $m = n$ je triviální) a označme

$a\, := \frac{1}{m}$ , $b\, := \frac{1}{n}$ , $c\, := a-b$ , $F(y)\,:= y^c$ , $V(x)\,:=\frac{\sqrt[m]{1+x} - \sqrt[n]{1+x}}x$ .

V novém označení je

$V(x) \,=\, \frac{(1+x)^a - (1+x)^b}{x} \,=\, (1+x)^b\cdot \frac{(1+x)^c -1}{x}\,=\,(1+x)^b\cdot\frac{F(1+x) -F(1)}{x}$ ,

takže

$\lim_{x \to 0}\,V(x) \,=\,\lim_{x \to 0}\,(1+x)^b\cdot\frac{F(1+x) -F(1)}{x} \,=\,1\cdot F'(1) \,=\,c\cdot 1^{c-1}\,=\,\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ .

Určitý ústupek z požadavku na elementárnost zde sice je (opíráme se o znalost derivace), ale myslím, není velký.

Marian · 05. 11. 2010 14:19

↑ Rumburak: Velmi hezké.

mancini · 05. 11. 2010 17:37

↑ Rumburak:: Tak to je fakt parádní řešení. Určitě bych to nevymyslel :-(, ackoliv jsem uz nekde slysel, ze nektery limity si primo koledujou o prevod do definice derivace.

Vzhledem k tomu, že nám to kantor zadal před tím, než jsme probrali derivace, tak bych ale rád přišel s nějakým řešením, který nevyužívá derivace...

Resim jeste jednu relativne podobnou limitu, ve ktery se odecitaji druha a treti odmocnina z 1-x resp 1+x a potrebuju se naucit poprat s tema odmocninama.

Pls help ;-)

jarrro · 05. 11. 2010 18:07

alebo je ešte možnosť
$\frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1+x}}{x}=\frac{\sqrt[m]{1+x}-1-\sqrt[n]{1+x}+1}{x}=\frac{\sqrt[m]{1+x}-1}{x}-\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$
a použitiu tých vzorcov od Failed a faktu,že limita rozdielu je rozdiel limít

mancini · 05. 11. 2010 18:15

↑ jarrro: super! diky moc ... case closed :-)

Rozhodne diky moc vsem
M.

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2010 15:37

limita s odmocninami

#2 04. 11. 2010 15:50 — Editoval Rumburak (04. 11. 2010 16:07)

Re: limita s odmocninami

#3 04. 11. 2010 15:59

Re: limita s odmocninami

#4 04. 11. 2010 16:35

Re: limita s odmocninami

#5 05. 11. 2010 00:05

Re: limita s odmocninami

#6 05. 11. 2010 00:39 — Editoval FailED (05. 11. 2010 00:39)

Re: limita s odmocninami

#7 05. 11. 2010 08:06

Re: limita s odmocninami

#8 05. 11. 2010 11:48

Re: limita s odmocninami

#9 05. 11. 2010 14:19

Re: limita s odmocninami

#10 05. 11. 2010 17:37

Re: limita s odmocninami

#11 05. 11. 2010 18:07

Re: limita s odmocninami

#12 05. 11. 2010 18:15

Re: limita s odmocninami

Zápatí