Matematické Fórum

honza33 · 11. 04. 2008 16:37

Prosím o pomoc s výpočtem této limity:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20(cos(3x))%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20%7D%20$

Můj výpočet:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20(cos(3x))%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20%7D%20%3D%20%5Csqrt%5B0%5D%7Bcos%200%7D%20%3D%20%5Csqrt%5B0%5D%7B1%7D$
tudy zřejmě cesta nevede :-(
poradí někdo? Díky

robert.marik

$=e^{\lim_{x\to 0}\frac{\ln cos(3x)}{x^2}}$

ted je to 0/0 a da se to dopocitat

honza33 · 14. 04. 2008 09:22

A? se na to koukám z kterékoliv strany, tak jsem z toho jelen. Asi poprvé vidím limitu, kde nejde x k něčemu, ale e na x jde k něčemu :-(
Jak se v takových limitách postupuje? Děkuji

Marian · 14. 04. 2008 09:57 — Editoval Marian (14. 04. 2008 10:00)

↑ honza33:

Ten zapis je dan relativne chabymi moznostmi toho, co vlastne TeX nabizi pro sazbu matematiky. Cas od casu se znaci exponenicialne funkce take takto:

${\mathrm{e}}^x=\exp (x).$

Pak by ten zapis vyse vypadal takto:

$\exp\left (\lim_{x\to 0}\frac{\ln (\cos 3x)}{x^2}\right ).$

Pokud se ti moc nelibi oznaceni pomoci exp(x), pak bych to skusil orameckovat trochu:

${\mathrm e}^{\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\ln (\cos 3x)}{x^2}}}.$

Snad je to jiz jasne ...

Navic, pokud by slo e^x k nule, pak by to vypadalo trochu jinak, ale tve oko to zatim nepostrehlo; tedy najdi rozdil ;-)

$\Huge\boxed{{\mathrm e}^x\to 0}\qquad{\mathrm a}\qquad \boxed{{\mathrm e}^{x\to 0}}.$

robert.marik

↑ honza33: Vypocitam ${\lim_{x\to 0}\frac{\ln cos(3x)}{x^2}}$ vyjde mi cislo a vysledek je e umocneno na toto cislo.

Zkuste pohledat neco o neurcitych vyrazech typu nula na nultou nebo jedna na nekonecno

↑ Marian: navic je tu pouzit mimetex, ketry ty vzorce trosicku pokazi

honza33 · 14. 04. 2008 13:06

Je to takhle správně?
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20(cos%20(3x))%5E%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D%20e%5E%7B%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bln%20cos(3x)%7D%7Bx%5E2%7D%7D%20%3D%20e%5E%5Cfrac%7Bln%20cos%200%7D%7B0%7D%20%3D%20e%5E1%20%3D%20e$

robert.marik · 14. 04. 2008 14:39

Neni, protoze ln(cos(0))/0 neni rovno 1.

Jak jste tu limitu vypocital? l'Hospitalovym pravidlem?

Tomsus · 15. 04. 2008 16:40

Doporučuji Taylorův polynom..

Nyah · 15. 04. 2008 19:05

Nejsem žádný velematematik ale:

Představte si, že limita se blíží k nule zleva ... zjistíte, že cosinus hodně malého záporného čísla (-0,00...1) je 1 a výraz 1/x^2 je - nekonečno, tj; 1 ^ -nekonečno je 1

zprava dojdete ke stejnému výsledku, proto limita téhle funkce bude 1.

Nevím jestli je to dostatečně odůvodnění, nám to takhle k zápočtu stačilo.

Lishaak · 15. 04. 2008 21:54

↑ Nyah:

POZOR VSEM!! Jde-li o limitu tvaru funkce na funkci, nikdy nepouzivejte tento typ uvahy, nebot je SPATNE. Coz ilustruje tento priklad, nebot cislo jedna NENI limitou te funkce.

Muj vypocet:

$\lim_{x\to 0}\left(\cos{3x}\right)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0}e^{\frac{\operatorname{ln}{\cos{3x}}}{x^2}}$
$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{ln}{\cos{3x}}}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{3\sin{3x}}{\cos{3x}}}{2x}= \lim_{x\to 0}\frac{-3\operatorname{tg}{3x}}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-9}{\cos^{2}{3x}}}{2}= \lim_{x\to 0}\frac{-9}{2\cos^{2}{3x}} = \frac{-9}{2}$

Takze vysledna limita je rovna $e^{\frac{-9}{2}}$

Nyah · 16. 04. 2008 08:17

Tak to se omlouvám za zmatečnou informaci.

robert.marik · 16. 04. 2008 10:56

↑ Nyah:
spíš je divné že to stačilo na zápočet :)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2008 16:37

Výpočet zapeklité limity

#2 11. 04. 2008 16:51 — Editoval robert.marik (11. 04. 2008 16:52)

Re: Výpočet zapeklité limity

#3 14. 04. 2008 09:22

Re: Výpočet zapeklité limity

#4 14. 04. 2008 09:57 — Editoval Marian (14. 04. 2008 10:00)

Re: Výpočet zapeklité limity

#5 14. 04. 2008 10:19 — Editoval robert.marik (14. 04. 2008 10:20)

Re: Výpočet zapeklité limity

#6 14. 04. 2008 13:06

Re: Výpočet zapeklité limity

#7 14. 04. 2008 14:39

Re: Výpočet zapeklité limity

#8 15. 04. 2008 16:40

Re: Výpočet zapeklité limity

#9 15. 04. 2008 19:05

Re: Výpočet zapeklité limity

#10 15. 04. 2008 21:54

Re: Výpočet zapeklité limity

#11 16. 04. 2008 08:17

Re: Výpočet zapeklité limity

#12 16. 04. 2008 10:56

Re: Výpočet zapeklité limity

Zápatí