Matematické Fórum

misa · 07. 11. 2010 11:05

Ahoj, prosím o radu, alespoň podle jakého kritéria mám zjišťovat konvergenci řady suma (n/n+1)to celé na n2. Předem moc děkuju za jakékoliv postrčení.

Hanis · 07. 11. 2010 11:12 — Editoval Hanis (07. 11. 2010 11:13)

↑ misa:
Tady bych použil podílové kritérium: Řada je konvergentní, pokud podíl $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=konst. ; 0<q<1$

misa · 07. 11. 2010 11:36

↑ Hanis:
To jsem zkoušela, ale dostávám šílený výraz, kde je dost "přeenkováno" a nějak z toho neumím dostat q...

misa · 07. 11. 2010 11:50

↑ misa:
ehm...tak možná mi svitlo, já si můžu do toho výrazu dosadit třeba za n=1 a tím pak dostanu konkrétní q, je to tak?

Osiris · 07. 11. 2010 17:51 — Editoval Osiris (07. 11. 2010 17:52)

↑ misa: Nemůžeš si do tohoto výrazu dosadit n=1. Protože pak by konvergence řady závisela pouze na prvním členu řady, což nezávisí.

Ukáži řešení. Tak tedy:

$a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ a vyšetřujeme konvergenci řady $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ . Použijme cauchyovo odmocninové kritérium (jehož předpoklady jsou splněny). Dostáváme
$\sqrt[n]{a_n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\exp(n\cdot\log(1-\frac{1}{n+1}))$ a spočítáme limitu.
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\cdot\log(1-\frac{1}{n+1})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\cdot\frac{\log(1-\frac{1}{n+1})}{-\frac{1}{n+1}}(-\frac{1}{n+1})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(-1)\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\frac{\log(1-\frac{1}{n+1})}{-\frac{1}{n+1}}=-1$ . Proto řada konverguje dle Cauchyova odmocninového kritéria.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2010 11:05

konvergence řady

#2 07. 11. 2010 11:12 — Editoval Hanis (07. 11. 2010 11:13)

Re: konvergence řady

#3 07. 11. 2010 11:36

Re: konvergence řady

#4 07. 11. 2010 11:50

Re: konvergence řady

#5 07. 11. 2010 17:51 — Editoval Osiris (07. 11. 2010 17:52)

Re: konvergence řady

Zápatí