Matematické Fórum

Petis · 10. 10. 2007 18:22

Zdravím, prosím pomohl by mi někdo s následující gon.rovnicí:

cotgx(na druhou)+4.cosx(na druhou)-3=0

Předem díky...:)

CzechMan · 10. 10. 2007 19:47

Ahoj..

$\cot^2{x}+4\cdot \cos^2{x}-3=0$
Tak zprvu musíme převést funkce obsažené v rovnici na funkci stejného typu. Zdá se výhodné, abychom převedli na kosinus.
Je známo, že platí $\cot{x}=\frac{\cos{x}}{sin{x}}$

Upravíme tímto rovnici.
$\frac{\cos^2{x}}{sin^2{x}}+4\cdot \cos^2{x}-3=0$
$\frac{\cos^2{x}}{1-cos^2{x}}+4\cdot \cos^2{x}-3=0$ ...protože platí $cos^2{x}+sin^2{x}=1$
$\cos^2{x}+(1-cos^2{x})\cdot 4\cdot \cos^2{x}-3(1-cos^2{x})=0 \nl \cos^2{x} +4\cos^2x-4\cos^4x-3+3cos^2x=0 \nl 4cos^4x-8cos^2x+3=0$
V tuto chvíli se vyplatí zavést substituci $cos^2x=y$ . Rovnice je tedy:
$4y^2-8y+3=0 \Rightarrow y_1=\frac{1}2 ;\ y_2=\frac{3}2$
Vrátíme se zpět k nahrazení.
$y_2= cos^2x \nl \sqrt{1,5}= cos{x}$
Odmocnina ze tří polovin je jistě číslo větší než jedna. Což je mimo obor hodnot fce kosinus, proto nás y2 nezajímá.
$y_1=cos^2x \nl \pm \sqrt{\frac{1}2}= cos{x} \nl \pm \frac{\sqrt2}{2}= cos{x}$
Příklad je volený dobře, protože jde o známou hodnotu, a to pro úhel o velikosti $\frac{\pi}4$ rad. A to nejen pro něj, ale i pro "totožné" úhly ve všech čtyřech kvadrantech. Tj. 45°, 135°, 225° a 315°.
Zapsáno množinově.
$K=\bigcup_{k\in Z} \frac{(2k+1)\pi}4$

Snad je to takto krok po kroku jasné :)

Petis · 10. 10. 2007 20:24

Díky moc za vyřešení příkladu, jen bych se chtěl zeptat jestli bych mohl ve kroku:

4.cosx(na čtvrtou) - 8.cosx(na druhou) + 3=0

... si nahradit cosx nahradit např. písmenem z => cosx=z

a potom počítat: 4z(na čtvrtou) - 8z(na druhou) + 3=0
atd..

Díky..

Kondr · 11. 10. 2007 00:01

Ano, mohl, ale musel bys pak řešit rovnici čtvrtého stupně, což by tě donutilo k substituci y=z^2, takže bysis nepomohl.

Marian · 11. 10. 2007 16:18 — Editoval Marian (11. 10. 2007 16:31)

Mel bych ctyri formalni pripominky.

1. Mnozinu nelze zapsat jako vycet jednotlivych prvku a zaroven bez mnozinovych zavorek, tedy jedna z moznosti, jak to (castecne) napravit (viz dale) je tato:

$K=\left \{\frac{(2k+1)\pi}{4},\, k\in Z\right\}$ .

Nema smysl psat totiz $\frac{\pi}{4}\cup\frac{3\pi}{4}$ a podobne. Operace sjednoceni dvou mnozin $\cup$ je binarni operace mezi mnozinami, nikoliv mezi prvky napr. ciselneho telesa, i kdyz namitka by se mohla objevit v tom smyslu, ze prvky ciselnych teles jsou take jiste mnoziny.

2. Dale by bylo dobre rici, co je to mnozina $K$ , tedy mnozina vsech reseni zadane rovnice.

3. Dale nebylo receno, co to je $Z$ . Z ulohy se sice da soudit, ze je to mnozina vsech celych cisel, ale prave proto bychom meli pouzivat oznaceni k tomu urcene. To je dvojiho druhu v matematice; bud $\Large{\mathbb{Z}}$ nebo $\Large{\mathbf{Z}}$ . Casto se v tom dela chyba, ale jak rikam, je to pouze formalni aspekt.

4. Konecne posledni vec. Abychom mohli rovnici resit, je nutne, aby byla urcena. Tim se mysli tri veci:

(a) obor reseni rovnice,
(b) oznaceni nezname a
(c) vyrokova formule, jejiz promennou je neznama a ktera ma byt pravdivym vyrokem.

V tomto se dela chyba ale vubec nejcasteji.
Zdravim.

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2007 18:22

Goniometrické rovnice

#2 10. 10. 2007 19:47

Re: Goniometrické rovnice

#3 10. 10. 2007 20:24

Re: Goniometrické rovnice

#4 11. 10. 2007 00:01

Re: Goniometrické rovnice

#5 11. 10. 2007 16:18 — Editoval Marian (11. 10. 2007 16:31)

Re: Goniometrické rovnice

Zápatí