Matematické Fórum

dog.big

Zdravím,
potřebuju poradit, jak vypočítat parciální derivace při výpočtu diferenciálu fce. Zkoušel jsem si číst skripta/pdfka ale zatím žádný výsledek. Derivace zvládám, ale právě parciální jsou pro mne španělská vesnice. Konkrétně si nevím rady s tím e^xy kde bych to rozložil pouze na dvě samotné derivace a počítal, avšak ke kýženému výsledku jsem se nedopočítal.

Zde je můj aktuální postup:

S pozdravem
Charvát
alias dog.big

Stýv · 08. 11. 2010 10:21

při počítání parciálních derivací prostě považuješ všechny ostatní proměnné za konstanty. e^(2x) zderivovat umíš?

Rumburak

Vhodné bude připomenout si definici:

Nechť f je funkce dvou reálných proměnných. Potom

(1) $\frac {\partial}{\partial x}f(x,y)\,\,:=\,\lim_{h\to 0}\,\frac{f(x+h,y)\,-\,f(x,y)}{h}$ ,

pokud pravá strana této rovnosti má smysl.

Srovnejme limitu v (1) s limitou v následujícím vzorci definujícím obyčejnou derivaci funkce g jedné proměnné:

(2) $g'(x) =\frac {\text{d}}{\text{d} x}g(x)\,\,:=\,\lim_{h\to 0}\,\frac{g(x+h)\,-\,g(x)}{h}$ .

Vidíme, že obě limity mají společný základní tvar, při tom vzorec (1) je o něco složitější, a sice o tu druhou proměnnou y.
Pokud bychom v (1) na proměnnou y "zapomněli" , dostali bychom

$\lim_{h\to 0}\,\frac{f(x+h)\,-\,f(x)}{h}$ ,

což je až na znak funkce tentýž výraz jako na pravé straně ve vzorci (2). Odtud i vyplývá, jak se parc. derivace počítají:
obdobně jako obyčejné derivace s tím, že si musíme ujasnit proměnnou, podle které tu p.d. počítáme - s ostatními proměnnými
pak nakládáme stejně, jako kdyby to byly konstnanty, např.

$\frac {\partial}{\partial x}$x^3y \,+\, y^2$\,\,=\,3x^2y$ , $\frac {\partial}{\partial y}$x^3y \,+\, y^2$\,\,=\,x^3 \,+\,2y$ .