Matematické Fórum

Polis · 07. 11. 2010 17:53

Ahojte,
ak niekto ma cas a chut, prosim pomozte mi s nasledovnym prikladom. Velmi ma zaujima vzorec na vypocet.

Objem kyslika vo vzduchu = 21 %.
Objem dusika vo vzduchu = 79 %
V miestnosti s objemom 30m3 sa nachadza vzduch (6,3m3 O2 a 23,7m3 N2).
Do miestnosti vhanam dusik s cistotou 99% pri rychlosti 2,2m3 za hodinu. Rovnakou rychlostou z miestnosti unika zmes O2 a N2.

Za aky cas dosiahnem v miestnosti cistotu kyslika 16 % ?

Velmi pekne dakujem.

Polis

Spybot · 07. 11. 2010 18:58 — Editoval Spybot (07. 11. 2010 19:19)

Zdravim,

trocha si to potrebujem ujasnit. Zmes, co pumpujeme do miestnosti obsahuje 99 % dusika a 1 % nejakych plynnych necistot, spravne? Potom cistota kyslika napr. 10 % znamena, ze v zmesi kyslik+necistoty je 10 % kyslika?

Polis · 07. 11. 2010 19:07

Ahoj,

Mozme uvazovat ze na zaciatku procesu bude v miestnosti 21% kyslika a 79% dusika.
Zacnem tam vhanat 99% dusik a to 1% je argon+ine vzacne plyny.

Co potrebujem v miestnosti dosiahnut je 16% kyslika. Aky plyn je tych zvysnych 84 % uz nie je dolezite.
Cize ak to pomoze s vypoctom, mozme kludne zvazovat ze do miestnosti sa vhana 100% akehokolvek plynu (alebo zmes) okrem kyslika.

Vopred dakujem

Spybot · 07. 11. 2010 19:24

Zabudol som na este jednu vec. Pises, ze rychlostou 2,2 m^3 za hodinu unika z miestnosti zmes kyslika a dusika. Lenze kolko kyslika je v tej zmesi?

lukaszh · 07. 11. 2010 19:25

↑ Polis:

Možno neúmyselne, ale

Pravidlá, ktoré si prijal pri registrácii
# 2. V jednom tématu pokládejte pouze jeden dotaz. Pro další dotaz si založte nové téma. Nezakládejte duplicitní témata.

↑↑ Polis:

Ide o úlohu na zostavenie diferenciálnej rovnice. Predpoklad na výrazné uľahčenie je dokonalé miešanie (nie je uvedený v zadaní). Nech u(t) označuje objem kyslíka v čase t. Potom jeho koncentrácia je u(t)/30. Úbytok kyslíka za čas dt môžeme teda zapísať nasledovne

$\rm{d}u=-2.2\cdot\frac{u}{30}\,\rm{d}t\;\Rightarrow\;\dot{u}=-\frac{11}{150}u$

Informácia 99% dusíka a 1% iné plyny (nie kyslík) nám nehovorí nič.

Polis · 07. 11. 2010 19:30

no ved o to prave ide. Ze to nevieme, pretoze ten stav sa stale meni. Ked nieco do miestnosti chcem pustit, musim aj nieco vypustit.

Pre lepsiu predstavivost je to nieco ako ked mam v pohari zmes 21% alkoholu (kyslik) a vody a potrebujes to zriedit. Cize z pohara vylievas jeho obsah urcitou rychlostou a zaroven dolievas vodu az pokial nedosiahnes len 16%.

Polis · 07. 11. 2010 19:33

Sorac, nevedel som kam to mam zaradit.

Polis · 07. 11. 2010 19:40

To lukaszh:

dakujem za vzorec, ale ja som naozaj laik v matike.
Mozes mi to prosim vypocitat? Aby som podobny problem dokazal vyocitat sam.

Dakujem

lukaszh

↑ Polis:

No, a na čo potrebuje "laik v matematike" riešiť takéto úlohy? (neodrádzam, len ma to zaujíma. Ďakujem). Ide o jednoduchú diferenciálnu rovnicu, ktorú rieši funkcia

$u(t)=\frac{63}{10}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{11}{150}t}$

Čas t, v ktorom je koncentrácia 16%, teda u(t) = 4.8 nie je ťažko dopočítať riešením rovnice

$\frac{63}{10}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{11}{150}t}=\frac{48}{10}$

Polis · 07. 11. 2010 20:54

Dakujem za riesenie.

Cas potrebny na dosiahnutie 16% cistoty O2 potrebujem na zvolenie vhodneho modelu dusikoveho generatora.
2,2 Nm3/hod je najmensi model a potreboval som vediet ci bude stacit resp co je lepsie riesenie, ci radsej pockat dlhsie (vyssie naklady na el. energiu) alebo radsej vacsi model, ktory je ale drahsi.

Este raz dakujem.

Polis · 07. 11. 2010 22:58

Este mam par nejasnosti v tvojom rieseni...

Co ak by som potreboval znizit z 21% na 18% a vhanal by som 7,8 m3/hod?

Posledny vzorec by potom vyzeral:

- 39/150 *t
63/10 * e = 30*18 / 100

Dakujem

lukaszh · 08. 11. 2010 17:08

↑ Polis:

Nie, nie je to správne. Postup nebudem odvodzovať, ale pre všeobecné parametre ti napíšem vzorec.

Počiatočný stav kyslíka označím $K$ (v %). Objem miestnosti je S (v m^3). Rýchlosť prúdenia $v$ . Predpokladáme rovnakú rýchlosť prítoku aj výtoku. Potom

$u(t)=\frac{K\cdot S}{100}\cdot\rm{e}^{-\frac{v}{S}\cdot t}$

Čas, v ktorom sa dosiahne úrovej kyslíka $\hat{K}\,%$ je riešením rovnice

$\frac{K\cdot S}{100}\cdot\rm{e}^{-\frac{v}{S}\cdot t}=\frac{\hat{K}\cdot S}{100}$

Riešením je

$\boxed{t=\frac{S}{v}\cdot\ln$\frac{K}{\hat{K}}$}$

-----------------------------------------------------------------

Pre pôvodný príklad je

$S=30\,\rm{m}^3\nlv=2.2\,\rm{m}^3\cdot\rm{h}^{-1}\nl\hat{K}=16\,%\nlK=21\,%$

Dosadíme do vzorca a dostaneme čas

$t\approx 3.708\,\rm{h}$

V druhom prípade sa zmení

$S=30\,\rm{m}^3\nlv=7.8\,\rm{m}^3\cdot\rm{h}^{-1}\nl\hat{K}=16\,%\nlK=18\,%$

tu vychádza čas

$t\approx 0.453\,\rm{h}$

Polis · 08. 11. 2010 17:14

Dakujem ;-)

spok · 17. 03. 2011 10:41

↑ lukaszh:

vedel by si mi prosim ta napisat, ako sa zmeni rovnica ak by sme mali k dispozicii nie 100% dusik, ale povedzme plyn s obsahom 0.2% kyslika alebo 1%kyslika?

dopredu dik

mák · 17. 03. 2011 14:31

No já bych si tipnul, že to bude asi takto (ale krk za to nedám):

$t={{\ln \left({{{\it Kn}-{\it Kp}}\over{{\it Kn}-{\it Kk}}}\right) \,S}\over{v}}$

Přičemž:

Kp: koncentrace počáteční (v našem případě 21%)
Kn: obsah kyslíku v dusíku (v našem případě to bude mezi 0 až několika procenty)
Kk: koncentrace konečná, tu kterou požadujeme

S: Objem místnosti v m^3 (30 m^3)
v: rychlost výměny plynu v m^3/h

t: výsledný čas v hodinách

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2010 17:53

Problem s vypoctom cistoty O2

#2 07. 11. 2010 18:58 — Editoval Spybot (07. 11. 2010 19:19)

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#3 07. 11. 2010 19:07

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#4 07. 11. 2010 19:24

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#5 07. 11. 2010 19:25

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#6 07. 11. 2010 19:30

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#7 07. 11. 2010 19:33

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#8 07. 11. 2010 19:40

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#9 07. 11. 2010 20:32 — Editoval lukaszh (07. 11. 2010 20:33)

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#10 07. 11. 2010 20:54

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#11 07. 11. 2010 22:58

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#12 08. 11. 2010 17:08

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#13 08. 11. 2010 17:14

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#14 17. 03. 2011 10:41

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

#15 17. 03. 2011 14:31

Re: Problem s vypoctom cistoty O2

Zápatí