Matematické Fórum

piiity · 08. 11. 2010 21:58

Dobrý den, mám zadaný úkol
Nalezněte a indukcí dokažte vzorec pro n-tý člen posloupnosti zadané vztahy a1=3, a2=7, an+2=3an+1-2an
Došel jsem ke vzorci $an=2^n^+^1-1^n$
Vzorec umím dokázat pro n=1 => an = $2^2-1$ ->3 a to platí. Co ale nevím je jak to dokázat pro n+1
Rozepsal jsem si to na an+1= $2*2^n^+^1-1^1*1$ ,zde jsem ale skončil a nevím jak použít indukční předpoklad, abych se dostal k výsledku.
Děkuji za případné návrhy

Rumburak · 09. 11. 2010 11:32

O zadané posloupnosti $(a_n)$ máme indukcí dokázat, že pro každé n = 1, 2, 3, ... je splněn výrok

V(n) : $a_n \,=\,2^{n+1}\,-\,1$ .

V indukčním kroku "V(k) ==> V(k+1)" bude nutno využít rekurentní vztah

(R) $a_{n+2}\,=\,3a_{n+1}\,-\,2a_n$ .

To ale nebude fungovat v případě "V(1) ==> V(2)", protože nám chybí člen $a_0$ . Platnost výroku V(2) proto musíme ověřit separátně,
obdobně jako platnost výroku V(1) . Důkaz tedy bude mít celkem 3 kroky:

1. Ověření platnosti výroku V(1) .

2. Ověření platnosti výroku V(2) .

3. Indukční krok "V(k) ==> V(k+1)" pro k = 2, 3, ... .

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2010 21:58

Matematická indukce důkaz

#2 09. 11. 2010 11:32

Re: Matematická indukce důkaz

Zápatí