Matematické Fórum

Ivana · 11. 10. 2007 17:55

Obvod pravoúhlého trojúhelníka je 24 m , a obsah 24 m čtverečných.Urči délky jeho stran.

Určitě jde o soustavu dvou rovnic,ale nějak mi to nevychází.Děkuji za pomoc.Ivana

Marian · 11. 10. 2007 18:27 — Editoval Marian (11. 10. 2007 18:51)

Necht a, b oznacuji delky odvesen pravouhleho $\Delta\, ABC$ . Oznacime-li pomoci c delku jeho prepony, pak plati $a^2+b^2=c^2$ , tzv. Pythagorova veta. Vyuzijeme to pozdeji. Z tveho zadani dale plyne, ze $o=a+b+c=24$ (obvod) a $S=\frac{ab}{2}=24$ (obsah). Od jednotek jsem pro jednoduchost abstrahoval. Mame tudiz dve rovnice:

$a+b+c=24$

a

$\frac{ab}{2}=24$ .

Z prvni z techto rovnic plyne

$a+b=24-c$ , (1)
z druhe z nich pak

$2ab=96$ (nasobili jsme ctverkou). (2)

Rovnici (1) umocnime na druhou, proto

$a^2+2ab+b^2=(24-c)^2$ . (3)

Vyraz $a^2+b^2$ nahradime podle Pythagorovy vety vyrazem $c^2$ , vyraz $2ab$ nahradime (jak jsme uvedli vyse v rovnici (2)) vyrazem $96$ . Rovnice (3) dostava tedy tvar

$c^2+96=(24-c)^2$ .

Umocnenim na druhou a upravami dostaneme linearni rovnici ( $c^2$ se "pobije"):

$48c=480$ .

Jejim resenim je $c=10$ , coz vyhovuje navic povaze ulohy. Dale je zapotrebi vypocitat delky odvesen. Dosazenim c=10 do rovnice (1) mame vztah

$a+b=14$ (4)

a z rovnice (2) vydelenim dvemi plyne

$ab=48$ . (5)

Rovnice (4) a (5) musi platit soucasne a zaroven cisla "a" a "b" musi byt kladna. Tyto rovnice tvori soustavu dvou nelinearnich rovnic o dvou neznamych. Z rovnice (4) si napriklad vyjadrime neznamou "a":

$a=14-b$ . (6)

Toto dosadime do rovnice (5). Ta po dosazeni ma tento tvar:

$(14-b)\cdot b =48$ .

Jeji upravou pak mame

$-b^2+14b-48=0$ .

Resenim posledni rovnice jsou cisla $b_1=6>0$ a $b_2=8>0$ . Nyni snadno dopocteme hodnotu $a$ , resp $a_1$ a $a_2$ z rovnice (6). Proto $a_1=14-6=8>0$ a $a_2=14-8=6>0$ .

Takze vzhledem ke tvemu zadani existuji dva takove pravouhle $\Delta ABC$ . Oznacim-li prvni z nich $\Delta A_1B_1C_1$ , pak mam $a_1=8,\, b_1=6, c_1=c=10$ a pro druhy z nich, oznacme jej $\Delta A_2B_2C_2$ , plati $a_2=6,\, b_2=8, c_2=c=10$ .

V podstate se jedna o jediny trojuhelnik, ale to je jiste videt (neprima shodnost).

Marian

=================================================================================
PS: Ted jsem si vsimnul, ze je to v sekci pro ZS. Ta uloha je spise pro stredni skoly, ale da se samozrejme resit i na ZS. Protoze jsem si teto skutecnosti nevsimnul, budou se pravdepodobne zdat nektere z uvedenych kroku v mem prispevku prilis rychle. Navic tedy to o neprime shodnosti ber v uvahu jako jiste preklopeni. Jestli budes mit nejake dotazy, pak jiste nekdo rad odpovi, protoze ja jsem na toto forum odskocil v rychlosti a resim podstatne hlubsi matematicke problemy, hlavne me tlaci jakysi termin.

Mnoho zdaru nejen v matematice.

M.

meďošek · 15. 11. 2010 18:21

Vypočítej obvod pravoúhlého trojúhelníku ABC,jsou-li dány
a)odvěsny a-140 cm..,b-51 cm
b)přepona c-97 cm..,odvěsna b-72 cm

BakyX · 15. 11. 2010 18:27

↑ meďošek:

Založ si svoju tému

Chrpa · 15. 11. 2010 20:38 — Editoval Chrpa (15. 11. 2010 21:11)

↑ meďošek:
a)
$a^2+b^2=c^2\nl140^2+51^2=c^2\nl19600+2601=c^2\nlc^2=22201\nlc=\sqrt{22201}\nlc=149$
Obvod: $o=a+b+c=140+51+149=340$
Případ b) obdobně
Mělo by ti vyjít: $o=234$

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2007 17:55

Obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníka

#2 11. 10. 2007 18:27 — Editoval Marian (11. 10. 2007 18:51)

Re: Obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníka

#3 15. 11. 2010 18:21

Re: Obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníka

#4 15. 11. 2010 18:27

Re: Obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníka

#5 15. 11. 2010 20:38 — Editoval Chrpa (15. 11. 2010 21:11)

Re: Obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníka

Zápatí