#1 07. 11. 2010 13:17 — Editoval BakyX (07. 11. 2010 13:17)
Určenie všetkých čísel a,b
Dobrý deň. Dostala sa mi "do rúk" takáto úloha. Nemám tušenia, ako ju vyriešiť.
Určte všetky dvojice kladných celých čísel a,b, pre ktoré platí, že ab^2+b+7 delí číslo a^2b+a+b.
Ďakujem za akýkoľvek "hint".
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#2 10. 11. 2010 17:19
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Určenie všetkých čísel a,b
ab^2+b+7 | a^2b+a+b
ab^2+b+7 | a^2b^3+ab^2+b^3.
ab^2+b+7 | a^2b^3+ab^2+7ab
ab^2+b+7|b^3-7ab
ab^2+b+7|b(b^2-7a)
Pokud by nějaké prvočíslo dělící ab^2+b+7 dělilo i b, muselo by jít o sedmičku, b=7c.
7ac^2+c+1|c(49c^2-7a)
zde žádné prvočíslo dělící 7ac^2+c+1 nemůže dělit c, pak 7ac^2+c+1|49c^2-7a. Odtud a<8, každou možnost lze dořešit zvlášť (nezkoušel jsem, ale mělo by :))
Pokud by sedmička nedělila b, pak ab^2+b+7|b^2-7a, což nelze.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#4 10. 11. 2010 17:53
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Určenie všetkých čísel a,b
↑ BakyX:Ten první krok nám může nějaké řešení přidat, ale žádné neubere. Druhý krok neplyne ze zadání, ale
(a^2b^3+ab^2+7ab):(ab^2+b+7)=ab je celé číslo. V dalším kroku využijeme toho, že když číslo nalevo dělí X a Y, pak dělí i X-Y.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline