Matematické Fórum

radeek · 07. 11. 2010 18:46

$x^2 - x - ln x -1 == 0$

..potřeboval bych za pomocí průběhu fce zjistit počet kořenů a ty následně separovat.. poté porovnat jak se bude lišit počet kořenů, když místo -1 dáme do rovnice parametr a.

začal jsem tedy $Df = (0,+oo)$

první derivace $2x -1 -1/x$

položím rovno 0 a vychází kořeny 2 a -1 (-1 nemá smysl pro Df)

na intervalech (0,2) i (2,+oo) by měla být fce rostoucí

druhá derivace $2+ 1/ x^2$

z toho že se bude jednat v Df o konvexní fci

...ale když si vykreslím graf, ukazuje mi to něco jinčího, než co mi vyšlo, konkrétně v první derivaci a tím se nemůžu dobrat ke kořenům, nevidí někdo chybu? díky

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 07. 11. 2010 18:53

$2x -1 -1/x =0$ nema koreny 2 a -1

radeek · 07. 11. 2010 21:54

jaj, pravda, prehledl jsem ze a=2.. takze to vychazi, ze v [1,-1] je extrem a rovnice ma tedy dva koreny, ted tedy jak ty koreny zjistit aniz bych se trapil s logaritmem, je to mozne?

a chapu spravne, ze kdyz bude v zakladni rovnici misto -1 paramter a, tak by to nemelo na vysledku nic menit, protoze derivace parametru bude vzdy nula nebo se mylim?

jelena · 07. 11. 2010 23:36

Zdravím,

radeek napsal(a):
v [1,-1] je extrem a rovnice ma tedy dva koreny, ted tedy jak ty koreny zjistit aniz bych se trapil s logaritmem, je to mozne?

Bylo by možné upřesnit:

Která rovnice má 2 kořeny?
A v čem je trapení s ln(x)?

Děkuji.

k závěru příspěvku - ano, pokud v zapisu funkce bude samostatná konstanta a, derivace takové funkce bude stejná pro každé a, jelikož derivace konstanty je 0. Parametr bych tomu asi neřekla. Taková konstanta a udává posun grafu funkce po ose y - viz materiál o transformaci grafu.

radeek · 08. 11. 2010 16:25

no, pokud použiju průběh funkce, tak z první derivace mi vyplývá extrém x=1, to dosadním do původní funkce a najdu bod y=-1, takže vím, že v bodě [1,-1] se mi funkce změní v monotónosti, definiční obor je od (0,+oo), spočtu tedy limity původní funkce pro x->0 = +oo a pro x-> oo což je opět +oo, takže si už mohu načrtnout graf a to takto:

z něhož vidím, že určitě protne osu x 2krát v intervalu Df. teď jde o to jak co nejlépe zjistit body protínající osu x.

jelena · 08. 11. 2010 19:51

↑ radeek:

děkuji, už rozumím.

"levý" kořen bude v intervalu <0, 1>, ovšem nulu bych nemohla použit pro numerickou metodu, proto se rozhodnu pomocí změny znaménka f(x):

f(1) je záporné, půjdu doleva v dobře počitatelných hodnotách ln(x). Pro x=1/e mi vychází ještě záporné, pro x=1/(e^2) už je f(1/e^2) kladné. Tedy levý kořen budu hledat na intervalu <e^(-2), 1> nebo i na <e^(-2), 1/e>

Podobne "pravý": je na intervalu <1, +oo), pro upřesnění stanovím změnu znaménka hodnoty funkce. f(1) je záporné, f(e) je dobře počitatelné a je kladné. Tedy bych 2. kořen hledala na intervalu <1, e>.

Může být? Děkuji.

radeek · 09. 11. 2010 06:44

a pokud bych použil kvadratický rozklad rovnice $ax^2+bx+c==0$ na původní rovnici $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}%20x^2%20-%20x%20-%20ln%20x%20-1%20==%200$ , jak bych postupoval s hodnotou ln x, patřila by k hodnotě b nebo c? a jak z ní popřípadě dostat neznámou x?

jelena · 09. 11. 2010 09:09

z takové rovnice $x^2-x-\ln x-1=0$ kvadratickou neuděláš.

Pro odhad kořenů se dá postupovat i tak, že přepišu rovnici na zápis $f(x)=h(x)$ a odhadují kde je průník:
$x^2-x-1=\ln x$ obě funkce jsou snadno setrojitelné a se snadným odhadem hodnot.

A proč se nelibí můj návrh odhadu intervalů? Děkuji.

radeek · 09. 11. 2010 19:59

nepsal jsem že se mi nelíbí, děkuji za něj ;)

..chápu tedy správně, že kořeny lze jen odhadnout?

jelena · 09. 11. 2010 23:33

↑ radeek: děkuji.

ano, taková rovnice má pouze přibližné řešení. Kořen(y) se naleznou pomocí vhodné numěřické metody (na závěr kapitoly je poznámka 2.5 o separaci kořenů a takové metody jsme použili (změna znaménka hodnoty funkce a přibližný náčrt grafu pomocí vyšetření průběhu). Případně jsem naznačila i metodu zakreslení "snadno zakreslitelných" funkcí.

V zadání je:

za pomocí průběhu fce zjistit počet kořenů a ty následně separovat..

počet kořenů je zjištěn a kořeny jsou odseparovány do navržených intervalů.

Parametr a na derivaci vliv nemá, ovšem na fakt, zda graf funkce bude mít průsečík s osou x (a tedy zda rovnice bude mít řešení) - tuto diskusi je třeba ještě doplnit.

V pořádku? Děkuji.

radeek · 10. 11. 2010 11:10

rozumím, díky

ještě tedy k závislosti na parametru "a", pokud chápu správně, nastanou tyto podmínky:

$a=0$ ... 1 řešení

$a>0$ ... 2 řešení

$a<0$ ... 0 řešení

protože "a" nám určuje pouze posunutí po ose y, takže kladné číslo znamená graf nad osou, záporné pod osou, je to tak? díky

jelena · 10. 11. 2010 12:39

Ano, uvažuješ správně, ovšem lepší je v rovnici zapsat místo (-1) tak (+a)
$x^2-x-\ln x+a=0$ , potom Tvé navržené nerovnice pro a budou opačně (a doplnit, že řešením se rozumí řešení v R, a také v R). Je to tak srozumitelné? Děkuji.

--------
OT: napsat ve slově "numerické" dva " ˇ " navíc (tedy numěřické) - měla bych si zavést nástěnku svých výkonů), omluva.

я не владею...

radeek · 10. 11. 2010 18:11

děkuji moc ;)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2010 18:46

Průběh funkce

#2 07. 11. 2010 18:53

Re: Průběh funkce

#3 07. 11. 2010 21:54

Re: Průběh funkce

#4 07. 11. 2010 23:36

Re: Průběh funkce

radeek napsal(a):

#5 08. 11. 2010 16:25

Re: Průběh funkce

#6 08. 11. 2010 19:51

Re: Průběh funkce

#7 09. 11. 2010 06:44

Re: Průběh funkce

#8 09. 11. 2010 09:09

Re: Průběh funkce

#9 09. 11. 2010 19:59

Re: Průběh funkce

#10 09. 11. 2010 23:33

Re: Průběh funkce

#11 10. 11. 2010 11:10

Re: Průběh funkce

#12 10. 11. 2010 12:39

Re: Průběh funkce

#13 10. 11. 2010 18:11

Re: Průběh funkce

Zápatí